Uma coluna de madeira engastada na base e no topo tem comprimento de 3,60 m e seção transversal de 38 x 88 mm. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada no topo sem provocar flambagem. Considerar E = 12 GPa e fy = 56 MPa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos uma coluna de madeira fixada na base e no topo, com comprimento de 3,60 metros e uma seção transversal de 38 x 88 mm. O objetivo é descobrir qual é a carga excêntrica máxima $ P $ que podemos aplicar no topo dessa coluna sem que ela entre em flambagem (ou seja, sem que ela se deforme de forma instável). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre flambagem de colunas, e também aplicar algumas fórmulas matemáticas relacionadas à resistência dos materiais.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia da seção transversal da coluna. O momento de inércia $ I $ é uma medida de como a área da seção está distribuída em relação ao eixo neutro e é crucial para determinar a resistência da coluna à flambagem.
A coluna tem uma seção retangular de 38 mm por 88 mm. O momento de inércia para uma seção retangular em relação ao eixo mais fraco (neste caso, 38 mm) é dado por:
Onde:
- $ b = 38 , mm $
- $ h = 88 , mm $
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, precisamos converter o momento de inércia para metros à quarta potência para manter as unidades consistentes com o módulo de elasticidade $ E = 12 , GPa $.
Passo 4
Em seguida, usamos a fórmula de flambagem de Euler para colunas engastadas nas duas extremidades:
Onde:
- $ E = 12 \times 10^9 , Pa $ (já que $ 1 , GPa = 10^9 , Pa $)
- $ I = 2.156 \times 10^{-6} , m^4 $
- $ L = 3.60 , m $
- $ K $ é o fator de comprimento efetivo. Para uma coluna engastada nas duas extremidades, $ K = 0.5 $.
Vamos substituir os valores:
Passo 5
Calculando o denominador primeiro:
Agora, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, considerando que a carga $ P $ é excêntrica, ela causa um momento adicional na coluna. Para que a coluna não flambe, a carga máxima excêntrica $ P_{max} $ deve ser tal que o momento causado não exceda a capacidade de flambagem $ P_{cr} $.
Assim, a carga excêntrica máxima $ P $ que pode ser aplicada sem causar flambagem é aproximadamente igual à carga crítica calculada.
Resposta
A carga excêntrica máxima $ P $ que pode ser aplicada no topo da coluna sem provocar flambagem é de aproximadamente 78.580 N.