4.2 Espaços e subespaços vetoriais
- Mostre que são espaços vetoriais sobre
(a)
com as operações de soma e produto por escalar de matrizes;
(b)
com as operações usuais de funções, são espaços vetoriais.
- Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
(a) O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
.
(b) O conjunto de todos os pares de números reais da forma
com as operações
(c)
com as operações
(d)
com as operações
(e)
com as operações
(f)
tal que
com as operações
- Considere
tal que
; onde
. Para que valores de
e
é um subespaço vetorial de
?
- Nos itens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a)
tal que
e a multiplicação por escalar usual.
(b)
tal que
e
.
- O conjunto
com as operações de de soma e produto por escalar de
é um subespaço vetorial de
? Justifique e interprete geometricamente.
- Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
(a) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
e
.
(b) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
.
(c) O conjunto das matrizes
nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
(d) O conjunto
formado pelas funções
tais que
.
(e) Seja
. Para
qualquer, considerer
. Prove :
i. Para todo
é um subespaço vetorial de
.
ii.
(f) O conjunto dos vetores
que têm duas ou mais coordenadas nulas .
- Mostre que a reunião de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
- Mostre que a intersecção de dois subespaços vetorial é sempre um subespaço vetorial.
(a)
(b)
(a) O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
(b) O conjunto de todos os pares de números reais da forma
(a)
(b)
(a) O conjunto
(b) O conjunto
(c) O conjunto das matrizes
(d) O conjunto
(e) Seja
i. Para todo
ii.
(f) O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado reúne vários exercícios sobre espaços vetoriais e subespaços:
- Item
pede para mostrar que o espaço de matrizes e o espaço de funções são espaços vetoriais sobre . - Item
apresenta vários conjuntos com operações “estranhas” e quer saber quais são ou não espaços vetoriais. - Item
pergunta quando o conjunto é subespaço de . - Item
dá dois exemplos de operações em e pede para ver quais axiomas falham. - Item
questiona se a circunferência unitária é subespaço de . - Item
tem vários subconjuntos de , matrizes e funções, e pede para identificar subespaços. - Item
pede prova de que a união de dois subespaços só é subespaço se um contiver o outro. - Item
pede prova de que a interseção de dois subespaços é sempre subespaço.
Conteúdo necessário: definição de espaço vetorial (osaxiomas) e subespaço (fechado em soma e escalar).
Passo 2
Exercício
:
(a) . As operações são soma de matrizes e escala
atriz usuais. Verificam-se diretamente todos os axiomas:
. Soma comutativa e associativa: herda-se de
.
. Existência de zero: matriz nula.
. Inverso aditivo: matriz com entradas opostas.
. Distributividade escalar sobre soma de matrizes e soma de escalares sobre matriz, associatividade do escal. e escalar
atuando como identidade: todas seguem da distributividade e associatividade em
.
Conclusão: é espaço vetorial sobre
.
(a)
Conclusão:
(b)
. Aqui
e
. Igual ao caso matricial, só que ponto a ponto: soma e escalar funcionam em cada
. Todos os axiomas reduzem aos axiomas de
.
Conclusão: é espaço vetorial sobre
.
Conclusão:
Passo 3
Exercício
, testar espaços:
(a) No conjunto
com adição normal e definição
.
Falha o axioma :
deveria ser
mas é
, ok. Entretanto,
dá
mas
dá
. Como
em geral (por exemplo
), falha associatividade de escalares.
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falha o axioma
Conclusão: não é espaço vetorial.
(b) Conjunto
com
,
.
Falta elemento neutro: não existe que somado a
dê
. Se
deve igualar
, então
, mas ainda assim
, porém a adição muda o primeiro componente duas vezes “
” para “
” (ok) mas não há inverso universal (por exemplo, não podemos anular a segunda coordenada sem afetar a primeira).
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falta elemento neutro: não existe
Conclusão: não é espaço vetorial.
(c)
com soma usual e
.
Falha , pois
salvo
.
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falha
Conclusão: não é espaço vetorial.
Passo 4
Continuando exercício
:
(d)
com
,
.
Falha comutatividade da soma: porque troca sinal.
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falha comutatividade da soma:
Conclusão: não é espaço vetorial.
(e)
com soma usual e
.
Falha fechamento: não preserva eixo
em geral. Também falha identidade escalar e distributividade.
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falha fechamento:
Conclusão: não é espaço vetorial.
(f) Conjunto
. Soma:
, escalar
.
Falta zero: não existe tal que
seja neutro aditivo.
Conclusão: não é espaço vetorial.
Falta zero: não existe
Conclusão: não é espaço vetorial.
Passo 5
Exercício
.
Para ser subespaço de precisa conter a origem, logo
.
Se ,
é o núcleo de uma forma linear e portanto subespaço, quaisquer
.
Conclusão: é subespaço sse
.
Para ser subespaço de
Se
Conclusão:
Passo 6
Exercício
(a)
com
e escalar usual.
Falha associatividade da soma e falta inverso.
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de soma (A , A
, A
) não valem.
Falha associatividade da soma e falta inverso.
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de soma (A
(b)
com soma usual e
.
Falha e distributividade de escalares (como em
(a)).
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de escalar (E , E
) não valem.
Falha
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de escalar (E
Passo 7
Exercício
com operações de
.
Não é fechado em escalar: se e
, então
não satisfaz
.
Conclusão: não é subespaço de
. Geometricamente, não passa pela origem e nem é estável por homotetias.
Não é fechado em escalar: se
Conclusão:
Passo 8
Exercício
(a)
. Essas são equações lineares homogêneas, passa pela origem e fechado em soma e escalar.
Conclusão: é subespaço.
Conclusão: é subespaço.
(b)
. Não é fechado em soma:
e
estão em
, mas a soma
não.
Conclusão: não é subespaço.
Conclusão: não é subespaço.
(c) Matrizes
nas quais alguma coluna tem todos os elementos iguais. Se em uma matriz coluna
é constante e em outra coluna
é constante, a soma pode não ter nenhuma coluna toda constante.
Conclusão: não é subespaço.
Conclusão: não é subespaço.
(d)
tais que
. Soma e escalar de funções periódicas de período
são periódicas de período
.
Conclusão: é subespaço.
Conclusão: é subespaço.
(e)
.
i. Soma e escalar de funções que são zero em continuam zero em
. Logo subespaço.
ii. Se então
porque anular em
é uma condição mais restritiva.
i. Soma e escalar de funções que são zero em
ii. Se
(f) Vetores em
com duas ou mais coordenadas nulas. Soma de dois vetores com duas zeros pode ter apenas uma zero (ex.:
tem só
zeros?). Mesmo se tiver duas, escalar não cria zeros extras.
Conclusão: não é subespaço.
Conclusão: não é subespaço.
Passo 9
Exercício
Sejam subespaços de um espaço vetorial
.
“ é subespaço
ou
”.
Prova sintética: se um não contém o outro, escolha e
. Então
não está em
.
Sejam
“
Prova sintética: se um não contém o outro, escolha
Passo 10
Exercício
Interseção de subespaços .
Interseção de subespaços
- Contém
pois ambos contêm . - Se
então e , logo e . - Similar para escalar.
Logoé sempre subespaço.