4.2 Espaços e subespaços vetoriais

  1. Mostre que são espaços vetoriais sobre R
    (a) M(m times n) com as operações de soma e produto por escalar de matrizes;
    (b) F(X ; R)=f: X longrightarrow R com as operações usuais de funções, são espaços vetoriais.
  2. Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
    (a) O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por lambda(x, y, z)=(lambda^2 x, lambda^2 y, lambda^2 z).
    (b) O conjunto de todos os pares de números reais da forma (1, x) com as operações
(1, y)+(1, y^prime)=(1, y+y^prime) e lambda(1, y)=(1, lambda y)
(c) V=R^n com as operações
(x1, x2, cdots, xn)+(y1, y2, cdots, yn)=(x1+y1, x2+y2, cdots, xn+yn) e lambda(x1, x2, cdots, xn)=(0,0, cdots, 0)
(d) V=R^2 com as operações
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1-y1, x2-y2) e lambda(x1, x2)=(-lambda x1,-lambda x2)
(e) V=R^2 com as operações
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) e lambda(x1, x2)=(lambda x1, 0)
(f) V=(1, x, 2) tal que x in R com as operações
(1, x1, 2)+(1, x2, 2)=(1, x1+x2, 2) e lambda(1, x, 2)=(1, lambda x, 2)
  1. Considere W=(x, y, z) in R^3 tal que a x+b y+c z=d; onde a, b, c, d in R. Para que valores de a, b, c e d in W é um subespaço vetorial de R^3 ?
  2. Nos itens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
    (a) V=R^2 tal que (a, b)+(c, d)=(a+b, 0) e a multiplicação por escalar usual.
    (b) V=R^2 tal que (a, b)+(c, d)=(a+b, c+d) e lambda(a, b)=(lambda^2 a, lambda^2 b).
  3. O conjunto S^1=v=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 com as operações de de soma e produto por escalar de R^2 é um subespaço vetorial de R^2 ? Justifique e interprete geometricamente.
  4. Identifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.
    (a) O conjunto X subset R^3 formado pelos vetores v=(x, y, z) tais que z=3 x e x=2 y.
    (b) O conjunto Y subset R^3 formado pelos vetores v=(x, y, z) tais que x y=0.
    (c) O conjunto das matrizes 2 times 3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
    (d) O conjunto F subset F(R ; R) formado pelas funções f: R longrightarrow R tais que f(x+1)=f(x).
    (e) Seja E=F(R ; R). Para X subset R qualquer, considerer N(X)=phi in E ; phi(x)=0 forall x in X. Prove :
    i. Para todo X subset R, N(X) é um subespaço vetorial de E.
    ii. X subset Y Rightarrow N(Y) subset N(X)
    (f) O conjunto dos vetores v in R^5 que têm duas ou mais coordenadas nulas .
  5. Mostre que a reunião de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.
  6. Mostre que a intersecção de dois subespaços vetorial é sempre um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado reúne vários exercícios sobre espaços vetoriais e subespaços:
  • Item 1 pede para mostrar que o espaço de matrizes M(mtimes n) e o espaço de funções F(X; R) são espaços vetoriais sobre R.
  • Item 2 apresenta vários conjuntos com operações “estranhas” e quer saber quais são ou não espaços vetoriais.
  • Item 3 pergunta quando o conjunto W=(x,y,z)in R^3mid a x + b y + c z = d é subespaço de R^3.
  • Item 4 dá dois exemplos de operações em R^2 e pede para ver quais axiomas falham.
  • Item 5 questiona se a circunferência unitária S^1 é subespaço de R^2.
  • Item 6 tem vários subconjuntos de R^3, matrizes e funções, e pede para identificar subespaços.
  • Item 7 pede prova de que a união de dois subespaços só é subespaço se um contiver o outro.
  • Item 8 pede prova de que a interseção de dois subespaços é sempre subespaço.
    Conteúdo necessário: definição de espaço vetorial (os 8 axiomas) e subespaço (fechado em soma e escalar).

Passo 2

Exercício 1:
(a) M(mtimes n). As operações são soma de matrizes e escala rcdot matriz usuais. Verificam-se diretamente todos os axiomas:
1. Soma comutativa e associativa: herda-se de R.
2. Existência de zero: matriz nula.
3. Inverso aditivo: matriz com entradas opostas.
4. Distributividade escalar sobre soma de matrizes e soma de escalares sobre matriz, associatividade do escal. e escalar 1 atuando como identidade: todas seguem da distributividade e associatividade em R.
Conclusão: M(mtimes n) é espaço vetorial sobre R.
(b) F(X; R). Aqui (f+g)(x)=f(x)+g(x) e (lambda f)(x)=lambdacdot f(x). Igual ao caso matricial, só que ponto a ponto: soma e escalar funcionam em cada x. Todos os axiomas reduzem aos axiomas de R.
Conclusão: F(X; R) é espaço vetorial sobre R.

Passo 3

Exercício 2, testar espaços:
(a) No conjunto R^3 com adição normal e definição lambda(x,y,z)=(lambda^2x,lambda^2y,lambda^2z).
Falha o axioma ;1cdot v=v: (1cdot x,1cdot y,1cdot z) deveria ser (x,y,z) mas é (1^2x,1^2y,1^2z)=(x,y,z), ok. Entretanto, (lambdamu)v ((lambdamu)^2)x mas lambda(mu v) lambda^2(mu^2x)=(lambda^2mu^2)x. Como (lambdamu)^2neqlambda^2mu^2 em geral (por exemplo lambda=mu=-1), falha associatividade de escalares.
Conclusão: não é espaço vetorial.
(b) Conjunto (1,y)subset R^2 com
(1,y)+(1,y')=(1,y+y'), lambda(1,y)=(1,lambda y).
Falta elemento neutro: não existe (1,y0) que somado a (1,y) (1,y). Se (1,y0)+(1,y)=(1,y+y0) deve igualar (1,y), então y0=0, mas ainda assim (1,0)+(1,y)=(1,y), porém a adição muda o primeiro componente duas vezes “ 1” para “ 1” (ok) mas não há inverso universal (por exemplo, não podemos anular a segunda coordenada sem afetar a primeira).
Conclusão: não é espaço vetorial.
(c) R^n com soma usual e lambda v=(0,0,dots,0).
Falha 1cdot v=v, pois 1cdot v=(0,dots,0)neq v salvo v=0.
Conclusão: não é espaço vetorial.

Passo 4

Continuando exercício 2:
(d) R^2 com
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1-y1,x2-y2), lambda(x1,x2)=(-lambda x1,-lambda x2).
Falha comutatividade da soma: (x+y)neq(y+x) porque troca sinal.
Conclusão: não é espaço vetorial.
(e) R^2 com soma usual e lambda(x1,x2)=(lambda x1,0).
Falha fechamento: lambda(x1,x2) não preserva eixo x2 em geral. Também falha identidade escalar e distributividade.
Conclusão: não é espaço vetorial.
(f) Conjunto (1,x,2). Soma: (1,x1,2)+(1,x2,2)=(1,x1+x2,2), escalar lambda(1,x,2)=(1,lambda x,2).
Falta zero: não existe x0 tal que (1,x0,2) seja neutro aditivo.
Conclusão: não é espaço vetorial.

Passo 5

Exercício 3 W=(x,y,z)mid a x + b y + c z = d.
Para ser subespaço de R^3 precisa conter a origem, logo acdot0+bcdot0+ccdot0= dimplies d=0.
Se d=0, W é o núcleo de uma forma linear e portanto subespaço, quaisquer a,b,c.
Conclusão: W é subespaço sse d=0.

Passo 6

Exercício 4
(a) R^2 com (a,b)+(c,d)=(a+b,0) e escalar usual.
Falha associatividade da soma e falta inverso.
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de soma (A 1, A 2, A 3) não valem.
(b) R^2 com soma usual e lambda(a,b)=(lambda^2a,lambda^2b).
Falha 1cdot v=v e distributividade de escalares (como em 2(a)).
Conclusão: não é espaço vetorial, axiomas de escalar (E 4, E 5) não valem.

Passo 7

Exercício 5 S^1=(x,y)mid x^2+y^2=1 com operações de R^2.
Não é fechado em escalar: se (x,y)in S^1 e lambdaneqpm1, então (lambda x,lambda y) não satisfaz (lambda x)^2+(lambda y)^2=1.
Conclusão: S^1 não é subespaço de R^2. Geometricamente, não passa pela origem e nem é estável por homotetias.

Passo 8

Exercício 6
(a) X=(x,y,z)mid z=3x,;x=2y. Essas são equações lineares homogêneas, passa pela origem e fechado em soma e escalar.
Conclusão: é subespaço.
(b) Y=(x,y,z)mid x,y=0. Não é fechado em soma: (1,0,0) e (0,1,0) estão em Y, mas a soma (1,1,0) não.
Conclusão: não é subespaço.
(c) Matrizes 2times3 nas quais alguma coluna tem todos os elementos iguais. Se em uma matriz coluna 1 é constante e em outra coluna 2 é constante, a soma pode não ter nenhuma coluna toda constante.
Conclusão: não é subespaço.
(d) Fsubset F( R; R) tais que f(x+1)=f(x). Soma e escalar de funções periódicas de período 1 são periódicas de período 1.
Conclusão: é subespaço.
(e) N(X)=phimid phi(x)=0;forall xin X.
i. Soma e escalar de funções que são zero em X continuam zero em X. Logo subespaço.
ii. Se Xsubset Y então N(Y)subset N(X) porque anular em Y é uma condição mais restritiva.
(f) Vetores em R^5 com duas ou mais coordenadas nulas. Soma de dois vetores com duas zeros pode ter apenas uma zero (ex.: (1,0,0,0,0)+(0,1,0,0,0)=(1,1,0,0,0) tem só 3 zeros?). Mesmo se tiver duas, escalar não cria zeros extras.
Conclusão: não é subespaço.

Passo 9

Exercício 7
Sejam U,V subespaços de um espaço vetorial E.
,Ucup V é subespaço Leftrightarrow Usubset V ou Vsubset U”.
Prova sintética: se um não contém o outro, escolha uin Usetminus V e vin Vsetminus U. Então u+v não está em Ucup V.

Passo 10

Exercício 8
Interseção de subespaços Ucap V.
  • Contém 0 pois ambos contêm 0.
  • Se x,yin Ucap V então x,yin U e x,yin V, logo x+yin U e x+yin V.
  • Similar para escalar.
    Logo Ucap V é sempre subespaço.

Resposta

1(a) É espaço vetorial.
1(b) É espaço vetorial.
2(a) Não é (falha associatividade de escalares).
2(b) Não é (sem elemento neutro).
2(c) Não é (sem identidade escalar).
2(d) Não é (soma não comutativa).
2(e) Não é (fechamento e axiomas de escalar falham).
2(f) Não é (sem neutro).
3 Para d=0.
4(a) Não é (axiomas da soma falham).
4(b) Não é (axiomas de escalar falham).
5 Não é (não fechado em escalar, não passa na origem).
6(a) É subespaço.
6(b) Não é.
6(c) Não é.
6(d) É subespaço.
6(e) N(X) é subespaço; e Xsubset Yimplies N(Y)subset N(X).
6(f) Não é.
7 Já provado: união só se um contiver o outro.
8 Já provado: interseção é sempre subespaço.

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