1. (Combinação Linear de Propriedades de Materiais) Vetores representam propriedades de materiais. Uma engenheira de materiais está estudando as propriedades de três diferentes tipos de ligas metálicas A, B e C. As propriedades mecânicas desses materiais podem ser representadas pelos vetores:
vA=[c 150 200 50 ], vB=[c 100 250 75 ], vC=[c 200 180 60 ]
Onde os componentes dos vetores representam, respectivamente, resistência à tração (MPa), dureza (Brinell), e resistência ao impacto ( J / cm^2 ). A engenheira deseja saber se é possível combinar linearmente as propriedades dessas ligas para obter um novo material com propriedades descritas pelo vetor:
vD=[c 180 220 65 ]
Determine se o vetor vD é uma combinação linear de vA, vB, e vC. Discuta a importância dessa análise para o desenvolvimento de novos materiais com propriedades específicas.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores
vA=15020050, vB=10025075, vC=20018060
e pede para ver se o vetor
vD=18022065
é combinação linear desses três. O conteúdo é Álgebra Linear: checar se vD está no espaço gerado por vA,vB,vC, o que leva a resolver um sistema para os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos
alpha,vA+beta,vB+gamma,vC=vD
que gera o sistema
150alpha +100beta +200gamma =180, 200alpha +250beta +180gamma =220, 50alpha +75beta +60gamma =65

Passo 3

Para simplificar, dividimos as equações por constantes:
15alpha +10beta +20gamma =18, 20alpha +25beta +18gamma =22, 10alpha +15beta +12gamma =13

Passo 4

Usamos eliminação entre as duas primeiras para achar relação entre beta e gamma. Multiplicando a terceira por 2 e subtraindo a segunda, obtemos
5beta+6gamma=4
E combinando a terceira vezes 1,5 com a primeira, obtemos
12,5,beta-2gamma=1,5
Resolvendo esse par dá
gamma=0,5, beta=0,2

Passo 5

Substituindo beta e gamma na terceira equação simplificada,
10alpha+15(0,2)+12(0,5)=13
10alpha+3+6=13Rightarrow 10alpha=4Rightarrow alpha=0,4
Conferimos que com alpha=0,4, beta=0,2, gamma=0,5 todas as três equações batem.

Passo 6

Encontramos que
vD=0,4,vA+0,2,vB+0,5,vC
Isso mostra que é possível “misturar” as três ligas com esses pesos para atingir exatamente as propriedades desejadas. Na prática de desenvolvimento de materiais, essa análise é fundamental porque permite prever como combinar diferentes ligas para obter resistência, dureza e impacto em níveis específicos, economizando tempo e recursos de ensaio.

Resposta

Sim.
vD=0,4,vA+0,2,vB+0,5,vC

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