Resolver e classificar os sistemas abaixo:
c2 x-4 y+z-3 w-r+4 s=13 -x+2 y-3 z-w+4 r-2 s=17 -3 x-4 y+z+2 w-3 r-s=-14 4 x-2 y+2 z-4 w-2 r+3 s=6 3 x-10 y+4 z-5 w-6 r+6 s=21

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de 5 equações com 6 incógnitas
2x -4y + z -3w -r +4s =13, -x +2y -3z -w +4r -2s =17, -3x -4y + z +2w -3r -s =-14, 4x -2y +2z -4w -2r +3s =6, 3x -10y +4z -5w -6r +6s =21,
o que caracteriza um sistema possivelmente indeterminado. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz e a forma da solução geral.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada l[Amid br] e aplicamos operações de linha para zerar a coluna de x abaixo da primeira equação. Em seguida trocamos linhas para ter pivô em cada passo:
1. Usamos a linha 1 para eliminar x em linhas 2 a 5.
2. Trocamos de lugar a linha que contenha coeficiente não nulo em y para a segunda posição, e eliminamos y nas linhas abaixo.
O resultado em forma escalonada é (omito cálculos intermédios)
2 & -4 & 1 & -3 & -1 & 4 &m|&13 0 & -20 & 5 & -5 & -9 &10 &m|&11 0 & 0 & -5 & -5 & 7 & 0 &m|&47 0 & 0 & 0 & -1 & -tfrac35 & -2 &m|&-tfrac135 0 & 0 & 0 & 0 & -tfrac1245 & -4 &m|&-tfrac3445
Todas as cinco primeiras colunas têm pivô não nulo, logo o posto da matriz dos coeficientes é rank(A)=5.

Passo 3

Como há 6 incógnitas e o posto é 5, temos uma incógnita livre. Escolhemos
s = t, tinR
A partir da última linha obtemos
-tfrac1245,r;-;4,s;=;-tfrac3445 Longrightarrow 31,r +5,s =86 Longrightarrow r = 86-5t31
Da quarta linha,
-,w ;-;35r;-;2s = -135 Longrightarrow w = 13-3r-10s5
Da terceira linha,
-5,z -5,w +7,r =47 Longrightarrow z = 7r-475-w
E assim por diante até expressar y e x em função de t.

Passo 4

Fazendo a substituição completa e simplificando, obtemos a solução geral:
boxed x &= 162 -90,t31, y &= -226 -91,t62, z &= -200 -52,t31, w &= 29 -59,t31, r &= 86 -5,t31, s &= t, tinR

Passo 5

Como o posto é 5 e o número de incógnitas é 6, o sistema é compatível indeterminado: existe infinidade de soluções, dependentes de um parâmetro livre t.

Resposta

A solução geral é
x = dfrac162 - 90,t31,[6pt] y = -dfrac226 - 91,t62,[6pt] z = -dfrac200 - 52,t31,[6pt] w = dfrac29 - 59,t31,[6pt] r = dfrac86 - 5,t31,[4pt] s = t, t in R,
portanto o sistema é compatível indeterminado (infinito de soluções).]

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