Resolver e classificar os sistemas abaixo:
c2 x-y-z+3 w=0 x+4 y+2 z-w=0 4 x-3 y-z-2 w=0 5 x+y-3 z+w=0

Passo 1

Temos um sistema homogêneo de equações e incógnitas
Para resolver e classificar vamos usar eliminação de Gauss, encontrando o posto da matriz dos coeficientes e a dimensão do espaço solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
(cccc|c 2 & -1 & -1 & 3 & 0 1 & 4 & 2 & -1 & 0 4 & -3 & -1 & -2 & 0 5 & 1 & -3 & 1 & 0 )

Passo 3

Trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô 1 em (1,1), e zeramos as entradas abaixo desse pivô:
(cccc|c 1 & 4 & 2 & -1 & 0 0 & -9 & -5 & 5 & 0 0 & -19 & -9 & 2 & 0 0 & -19 & -13 & 6 & 0 )

Passo 4

Usamos o pivô -9 em (2,2) para zerar as entradas das linhas 3 e 4 na coluna 2:
(cccc|c 1 & 4 & 2 & -1 & 0 0 & -9 & -5 & 5 & 0 0 & 0 & tfrac149 & -tfrac779 & 0 0 & 0 & -tfrac229 & -tfrac419 & 0 )

Passo 5

Escalonamos ainda mais: multiplicamos a terceira linha por 9 e, em seguida, usamos o pivô 14 em (3,3) para zerar a entrada em (4,3). Isso leva a um pivô não nulo também na coluna 4, mostrando que temos quatro pivôs não nulos.

Passo 6

Como encontramos pivôs em todas as quatro colunas dos coeficientes, o posto da matriz é 4, igual ao número de incógnitas. Em sistema homogêneo, isso implica solução única (a trivial).

Resposta

A única solução é
(x,y,z,w) = (0,0,0,0),
logo o sistema é determinado de posto completo e admite apenas a solução trivial.

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