Uma combinação RLC em série com L = 2,0 H, C = 2,0 \mu \mathrm{F} e R = 20 \Omega é alimentada por um gerador ideal que tem 100 V de pico de fem e uma frequência de 60,0 \mathrm{~Hz}, determine (a) a corrente de pico, (b) a constante de fase \delta, (c) o fator de potência e (d) a potência média fornecida.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:
Dados fornecidos:
L = 2,0\\ \mathrm{H},\qquad C = 2,0\\ \mu\mathrm{F} = 2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, \qquad R = 20\\ \Omega,
V_{\text{pico}} = 100\\ \mathrm{V},\qquad f = 60{,}0\\ \mathrm{Hz}.
Perguntas (o que devemos encontrar):
(a) a corrente de pico I_{\text{pico}},
(b) a constante de fase \delta (entre tensão e corrente),
(c) o fator de potência,
(d) a potência média fornecida.
Observação: vou resolver passo a passo usando impendância e fasores (explico tudo ao longo do caminho).

Passo 2

Frequência angular e como usaremos:
A frequência angular é a grandeza usada para calcular reatâncias de indutor e capacitor. Ela é dada por
\omega = 2\pi f.
Calculando:
\omega = 2\pi\cdot60{,}0 = 120\pi \approx 376{,}991\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: \omega traduz ciclos por segundo em “radianes por segundo”, que é a unidade natural para as fórmulas de reatância.

Passo 3

Reatâncias do indutor e do capacitor e significado:
  • A reatância indutiva (impede corrente variando) é
X_L = \omega L.
  • A reatância capacitiva (impede variações de tensão no capacitor) é
X_C = \frac{1}{\omega C}.
Calculando numericamente:
X_L = 376{,}991\cdot 2{,}0 = 753{,}982\\ \Omega,
X_C = \frac{1}{376{,}991\cdot 2{,}0\times10^{-6}} \approx 1\,326{,}291\\ \Omega.
Interpretação: X_L e X_C atuam como “resistências” reativas; X_L é positivo, X_C é tratado como positivo na fórmula mas contribui negativamente para a reatância total (ver passo seguinte).

Passo 4

Reatância total (reatância líquida) do circuito série:
Para um RLC série a reatância total é
X = X_L - X_C.
Calculando:
X = 753{,}982 - 1\,326{,}291 = -572{,}309\\ \Omega.
Interpretação: o sinal negativo indica que o circuito é, no conjunto, dominado pela capacitância — ou seja, a corrente “antepõe” (lead) a tensão.

Passo 5

Impedância complexa e seu módulo:
A impedância complexa do circuito é
Z = R + jX,
e o módulo (valor absoluto) é
|Z| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}.
Calculando:
|Z| = \sqrt{20^{2} + (-572{,}309)^{2}} \approx \sqrt{400 + 327536{,}1} \approx 572{,}743\\ \Omega.
Explicação: |Z| é a “resistência total” efetiva que relaciona a amplitude da tensão pela amplitude da corrente.

Passo 6

Corrente de pico (a):
A relação entre pico de tensão e pico de corrente em regime senoidal é
I_{\text{pico}} = \frac{V_{\text{pico}}}{|Z|}.
Substituindo:
I_{\text{pico}} = \frac{100}{572{,}743}\approx 0{,}1746\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a corrente de pico é bem pequena porque a reatância capacitiva (e indutiva) é grande neste circuito.

Passo 7

Constante de fase \delta (b) — definição e cálculo:
A constante de fase entre tensão e corrente num circuito RLC série é o ângulo da impedância:
\delta = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right).
Aqui X é a reatância líquida (pode ser negativa). Calculando:
\delta = \arctan\!\left(\frac{-572{,}309}{20}\right) \approx \arctan(-28{,}615) \approx -1{,}5359\\ \mathrm{rad}\approx -88{,}0^\circ.
Interpretação física: \delta<0 significa que a corrente está adiantada (lead) em relação à tensão — típico de circuito dominado por capacitância. Em prova dê o sinal: corrente lidera por 88{,}0^\circ.

Passo 8

Fator de potência \text{(c)} — definição e cálculo:
O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase entre tensão e corrente:
\text{fator de potência} = \cos\delta.ê
Calculando:
\cos(-88{,}0^\circ)=\cos(88{,}0^\circ)\approx 0{,}0349.
Interpretação: fator de potência pequeno indica que quase toda a energia oscila entre indutor e capacitor (energia reativa) e pouca é dissipada em R.

Passo 9

Potência média fornecida (d) — definição e cálculo:
A potência média (ativa) entregue pelo gerador em corrente alternada é
P_{\text{média}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\delta.é
Lembrete: V_{\text{rms}} = \dfrac{V_{\text{pico}}}{\sqrt{2}} e I_{\text{rms}} = \dfrac{I_{\text{pico}}}{\sqrt{2}}.
Calculemos V_{\text{rms}} e I_{\text{rms}}:
V_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70{,}711\\ \mathrm{V},
I_{\text{rms}} = \frac{0{,}1746}{\sqrt{2}} \approx 0{,}1234\\ \mathrm{A}.
Agora a potência:
P_{\text{média}} = 70{,}711\cdot 0{,}1234\cdot 0{,}0349 \approx 0{,}305\\ \mathrm{W}.é
Verificação alternativa (mais direta): em circuito série a potência dissipada é só em R, então
P_{\text{média}} = I_{\text{rms}}^{2}R = (0{,}1234)^{2}\cdot20 \approx 0{,}305\\ \mathrm{W},é
mesmo resultado (ótimo para conferir cálculo na prova).

Passo 10

Resumo rápido do significado físico dos resultados (motivação para a prova):
  • Corrente pequena porque reatâncias são grandes.
  • Ângulo quase \pm 90^\circ significa quase todo comportamento reativo.
  • Fator de potência muito baixo e potência média muito baixa: o gerador quase não entrega energia útil (a maior parte oscila entre L e C).

Resposta

I_{\text{pico}} \approx 0{,}1746\\ \mathrm{A}
\delta \approx -88{,}0^\circ (corrente adiantada, ou -1{,}5359\\ \mathrm{rad})
fator de potência \approx 0{,}0349 (leading)
potência média P_{\text{média}} \approx 0{,}305\\ \mathrm{W}é

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