A equação de movimento do MRU é a equação de uma reta, usando o método de mínimos quadrados para obter a melhor reta que apresenta os dados obtidos:
. Use o método de mínimos quadrados (MMQ) para obter x 0 e v , bem como suas incertezas (para esse cálculo você deve desconsiderar as incertezas no tempo). A demonstração do cálculo do MMQ pode ser feita em uma folha à parte e anexada ao relatório.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado pede para ajustar uma reta pela lei do MRU
usando o método dos mínimos quadrados, obtendo os parâmetros e e as incertezas desses parâmetros. - Informações dadas/assumidas:
- Temos
medições com . - Devemos desprezar as incertezas nos tempos
(ou seja, só há erro nas posições ). - Inicialmente não vamos assumir que a incerteza em cada
seja conhecida; apresentarei o caso com conhecido e o caso em que estimamos dos resíduos.
- Temos
- Objetivo prático: dar fórmulas diretas (fáceis de calcular na prova) para
, e suas incertezas, e um passo-a-passo de como aplicar.
Passo 2
Definindo o critério dos mínimos quadrados e os resíduos.
- Definimos o resíduo em cada ponto como a diferença entre a medição e o modelo:
- No método dos mínimos quadrados (MMQ) escolhemos
e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos: - A ideia: minimizar
em relação a e . Para isso tomamos derivadas parciais e igualamos a zero (condições normais).
Passo 3
Escrevendo as equações normais (derivadas parciais).
- Calcule as derivadas parciais (procedimento padrão: derivada de soma de quadrados):
- Simplificando as duas equações obtemos o sistema linear nas incógnitas
e . Definimos somatórios para ficar mais limpo: - As equações normais ficam:
Passo 4
Resolvendo o sistema e obtendo fórmulas finais para
e
.
- Definimos o determinante auxiliar
- Resolve-se o sistema obtendo (essas são fórmulas direto-canônicas para ajuste linear):
- Forma alternativa, muitas vezes mais prática na prova: usar médias
então
- Comentário prático: na prova calcule primeiro
ou e as somas centradas; depois aplique as fórmulas.
Passo 5
Incertezas dos parâmetros — hipótese: erros em
independentes com variância conhecida
(constante).
- Quando os erros em
são independentes, identicamente distribuídos com variância , as variâncias (e covariância) dos estimadores são dadas por:
- Os desvios-padrão (incertezas) então são:
- Observação: a correlação entre
e pode ser obtida a partir da covariância.
Passo 6
E se
não for conhecida (caso típico em prática experimental)?
- Estimamos a variância a partir dos resíduos mínimos (valor de
no ajuste), usando o estimador sem viés: Aqui é o número de graus de liberdade: dados menos parâmetros ajustados. - Substitua
por nas fórmulas das variâncias para obter estimativas das incertezas:
- Procedimento prático na prova: calcular
→ calcular resíduos → calcular → calcular .
Passo 7
Verificações e dicas práticas na prova (como checar se o ajuste faz sentido).
- Calcule o somatório dos quadrados dos resíduos
e o quociente reduzido (chi-quadrado reduzido) Se você usou conforme definido, espera-se . Se muito maior que 1, pode haver erros sistemáticos ou subestimação das incertezas; se muito menor, talvez as incertezas foram superestimadas. - Sempre reporte
e com suas incertezas e com unidades. Por exemplo: . - Lembre-se: calcular médias centradas
e costuma reduzir erros aritméticos.
Passo 8
Resumo do passo-a-passo operacional (receita curta para a prova)
- Calcule
, , , e . - Calcule
- Calcule resíduos
e . - Estime
. - Calcule incertezas
- Escreva o resultado final com unidades e algarismos significativos coerentes.