A equação de movimento do MRU é a equação de uma reta, usando o método de mínimos quadrados para obter a melhor reta que apresenta os dados obtidos: \mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{xo}+\mathrm{vt}. Use o método de mínimos quadrados (MMQ) para obter x 0 e v , bem como suas incertezas (para esse cálculo você deve desconsiderar as incertezas no tempo). A demonstração do cálculo do MMQ pode ser feita em uma folha à parte e anexada ao relatório.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede para ajustar uma reta pela lei do MRU x(t)=x_0+v\,t,usando o método dos mínimos quadrados, obtendo os parâmetros x_0 e v e as incertezas desses parâmetros.
  • Informações dadas/assumidas:
    • Temos N medições (t_i,x_i) com i=1,\dots,N.
    • Devemos desprezar as incertezas nos tempos t_i (ou seja, só há erro nas posições x_i).
    • Inicialmente não vamos assumir que a incerteza em cada x_i seja conhecida; apresentarei o caso com \sigma_x conhecido e o caso em que estimamos \sigma_x dos resíduos.
  • Objetivo prático: dar fórmulas diretas (fáceis de calcular na prova) para x_0, v e suas incertezas, e um passo-a-passo de como aplicar.

Passo 2

Definindo o critério dos mínimos quadrados e os resíduos.
  • Definimos o resíduo em cada ponto como a diferença entre a medição e o modelo: r_i = x_i - x_0 - v\,t_i.
  • No método dos mínimos quadrados (MMQ) escolhemos x_0 e v que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos: S = \sum_{i=1}^N r_i^2 = \sum_{i=1}^N (x_i - x_0 - v\,t_i)^2.
  • A ideia: minimizar S em relação a x_0 e v. Para isso tomamos derivadas parciais e igualamos a zero (condições normais).

Passo 3

Escrevendo as equações normais (derivadas parciais).
  • Calcule as derivadas parciais (procedimento padrão: derivada de soma de quadrados): \frac{\partial S}{\partial x_0} = -2\sum_{i=1}^N (x_i - x_0 - v\,t_i)=0,
\frac{\partial S}{\partial v} = -2\sum_{i=1}^N t_i (x_i - x_0 - v\,t_i)=0.
  • Simplificando as duas equações obtemos o sistema linear nas incógnitas x_0 e v. Definimos somatórios para ficar mais limpo: S_x=\sum_{i=1}^N x_i,\quad S_t=\sum_{i=1}^N t_i,\quad S_{tt}=\sum_{i=1}^N t_i^2,\quad S_{tx}=\sum_{i=1}^N t_i x_i.
  • As equações normais ficam: N x_0 + v S_t = S_x,
x_0 S_t + v S_{tt} = S_{tx}.

Passo 4

Resolvendo o sistema e obtendo fórmulas finais para x_0 e v.
  • Definimos o determinante auxiliar \Delta = N S_{tt} - (S_t)^2.
  • Resolve-se o sistema obtendo (essas são fórmulas direto-canônicas para ajuste linear): v = \frac{N S_{tx} - S_t S_x}{\Delta},
x_0 = \frac{S_{tt} S_x - S_t S_{tx}}{\Delta}.
  • Forma alternativa, muitas vezes mais prática na prova: usar médias \bar{t}=\frac{S_t}{N},\qquad \bar{x}=\frac{S_x}{N},então v = \frac{\sum_{i=1}^N (t_i-\bar{t})(x_i-\bar{x})}{\sum_{i=1}^N (t_i-\bar{t})^2},
x_0 = \bar{x} - v\,\bar{t}.
  • Comentário prático: na prova calcule primeiro S_t,S_x,S_{tt},S_{tx} ou \bar{t},\bar{x} e as somas centradas; depois aplique as fórmulas.

Passo 5

Incertezas dos parâmetros — hipótese: erros em x_i independentes com variância conhecida \sigma_x^2 (constante).
  • Quando os erros em x_i são independentes, identicamente distribuídos com variância \sigma_x^2, as variâncias (e covariância) dos estimadores são dadas por: \mathrm{Var}(v)=\frac{N\,\sigma_x^2}{\Delta},
\mathrm{Var}(x_0)=\frac{S_{tt}\,\sigma_x^2}{\Delta},
\mathrm{Cov}(x_0,v)=-\frac{S_t\,\sigma_x^2}{\Delta}.
  • Os desvios-padrão (incertezas) então são: \sigma_v=\sqrt{\mathrm{Var}(v)}=\sigma_x\sqrt{\frac{N}{\Delta}},
\sigma_{x_0}=\sqrt{\mathrm{Var}(x_0)}=\sigma_x\sqrt{\frac{S_{tt}}{\Delta}}.
  • Observação: a correlação entre x_0 e v pode ser obtida a partir da covariância.

Passo 6

E se \sigma_x não for conhecida (caso típico em prática experimental)?
  • Estimamos a variância a partir dos resíduos mínimos (valor de S no ajuste), usando o estimador sem viés: \hat{\sigma}_x^2 = \frac{1}{N-2}\sum_{i=1}^N (x_i - x_0 - v\,t_i)^2.Aqui N-2 é o número de graus de liberdade: N dados menos 2 parâmetros ajustados.
  • Substitua \sigma_x^2 por \hat{\sigma}_x^2 nas fórmulas das variâncias para obter estimativas das incertezas: \hat{\sigma}_v=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{N}{\Delta}},
\hat{\sigma}_{x_0}=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{S_{tt}}{\Delta}}.
  • Procedimento prático na prova: calcular v,x_0 → calcular resíduos r_i → calcular \hat{\sigma}_x^2 → calcular \hat{\sigma}_v,\hat{\sigma}_{x_0}.

Passo 7

Verificações e dicas práticas na prova (como checar se o ajuste faz sentido).
  • Calcule o somatório dos quadrados dos resíduos S_{\min}=\sum r_i^2 e o quociente reduzido (chi-quadrado reduzido) \chi^2_\nu = \frac{S_{\min}}{(N-2)\,\hat{\sigma}_x^2}.Se você usou \hat{\sigma}_x^2 conforme definido, espera-se \chi^2_\nu\approx 1. Se \chi^2_\nu muito maior que 1, pode haver erros sistemáticos ou subestimação das incertezas; se muito menor, talvez as incertezas foram superestimadas.
  • Sempre reporte x_0 e v com suas incertezas e com unidades. Por exemplo: v=(1{,}23\pm0{,}05)\,\mathrm{m/s}.
  • Lembre-se: calcular médias centradas \sum (t_i-\bar t)(x_i-\bar x) e \sum (t_i-\bar t)^2 costuma reduzir erros aritméticos.

Passo 8

Resumo do passo-a-passo operacional (receita curta para a prova)
  1. Calcule S_t=\sum t_i, S_x=\sum x_i, S_{tt}=\sum t_i^2, S_{tx}=\sum t_i x_i e \Delta=N S_{tt}-S_t^2.
  2. Calcule v=\frac{N S_{tx} - S_t S_x}{\Delta},\qquad x_0=\frac{S_{tt} S_x - S_t S_{tx}}{\Delta}.
  3. Calcule resíduos r_i=x_i-x_0-vt_i e S_{\min}=\sum r_i^2.
  4. Estime \hat{\sigma}_x^2=\dfrac{S_{\min}}{N-2}.
  5. Calcule incertezas \hat{\sigma}_v=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{N}{\Delta}},\qquad \hat{\sigma}_{x_0}=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{S_{tt}}{\Delta}}.
  6. Escreva o resultado final com unidades e algarismos significativos coerentes.

Resposta

v=\frac{N\sum_{i=1}^N t_i x_i - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)\left(\sum_{i=1}^N x_i\right)}{\,N\sum_{i=1}^N t_i^2 - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)^2\,}
x_0=\frac{\left(\sum_{i=1}^N t_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^N x_i\right) - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)\left(\sum_{i=1}^N t_i x_i\right)}{\,N\sum_{i=1}^N t_i^2 - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)^2\,}
\hat{\sigma}_x^2=\frac{1}{N-2}\sum_{i=1}^N (x_i - x_0 - v\,t_i)^2
\hat{\sigma}_v=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{N}{\,N\sum_{i=1}^N t_i^2 - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)^2\,}}
\hat{\sigma}_{x_0}=\hat{\sigma}_x\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N t_i^2}{\,N\sum_{i=1}^N t_i^2 - \left(\sum_{i=1}^N t_i\right)^2\,}}

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