Uma linha de transmissão tem resistência de
. Calcule a perda de potência devido ao aquecimento Joule se 200 kW de potência são transmitidos de um gerador até uma cidade que está a 10 km de distância a (a) 240 V rms e (b)
rms.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
-
Dados fornecidos:
- Resistência da linha:
. - Distância entre gerador e cidade:
. - Potência entregue à cidade:
. - Dois casos de tensão de transmissão (valor eficaz / rms):
- (a)
. - (b)
(ou seja, ).
- (a)
- Resistência da linha:
-
O que o problema pede:
- Calcular a perda de potência por aquecimento Joule na linha (ou seja, as perdas ôhmicas) para os dois casos de tensão acima.
Passo 2
Observação sobre a resistência total que leva às perdas: a resistência dada é por quilômetro de um condutor. Para que haja corrente do gerador até a cidade e retorno, o circuito efetivo normalmente envolve dois condutores (ida e volta), então a resistência total do circuito de transmissão será o dobro da resistência por único condutor multiplicada pela distância. Vou adotar essa hipótese (linha de ida + retorno) porque é o modelo mais comum em exercícios básicos e porque, sem essa consideração, as perdas calculadas seriam incorretas (muito menores). Se o enunciado quisesse usar apenas um condutor já considerando o retorno embutido, deveria ter dito explicitamente — como não disse, uso o modelo padrão de dois condutores.
Calculemos a resistência total do circuito:
Substituindo:
Passo 3
Fórmulas fundamentais e explicação didática:
- A potência elétrica (ativa) entregue à carga, para corrente eficaz
e tensão eficaz com fator de potência 1, é dada por
Aqui assumimos fator de potência unitário (carga puramente resistiva ou potência ativa indicada), que é a hipótese usual quando só nos dão
e
.
- A perda por efeito Joule na resistência
é dada por
Essa fórmula vem de
com
, portanto
. É a energia dissipada por segundo na resistência na forma de calor.
Plano de ação para cada caso de tensão:
- Calcular a corrente eficaz usando
. - Calcular
. - Expressar o resultado em watts (ou kW) e comentar se for útil.
Passo 4
Caso (a): transmissão a
.
Calcule a corrente eficaz:
Converter
para watts para fazer a conta:
Portanto
Vou manter algumas casas para clareza:
Passo 5
Ainda no caso (a), calcule a perda por Joule usando
:
Calcule
:
Agora a perda:
Arredondando de forma sensata:
Comentário rápido: as perdas são maiores que a potência transmitida (200 kW), mostrando por que tensões baixas são impraticáveis para transmissões longas.
Passo 6
Caso (b): transmissão a
(ou
).
Calcule a corrente eficaz:
Posso anotar
Passo 7
Ainda no caso (b), calcule a perda por Joule com
:
Calcule
:
Agora a perda:
Arredondando:
Comparação intuitiva: transmitindo à alta tensão a corrente é bem menor, e as perdas se tornam desprezíveis frente a
.
Passo 8
Resumo final numérico e interpretação curta:
- Caso (a)
: perda por Joule aproximadamente (muito alta; maior que a potência útil transmitida). - Caso (b)
: perda por Joule aproximadamente (bem pequena).
Esses resultados mostram por que usamos tensões altas para transmissão de potência: perdas ôhmicas caem com o quadrado da corrente, e a corrente é inversamente proporcional à tensão.
Resposta
(a)
(b)
(b)