Uma linha de transmissão tem resistência de 0,020 \Omega / \mathrm{km}. Calcule a perda de potência devido ao aquecimento Joule se 200 kW de potência são transmitidos de um gerador até uma cidade que está a 10 km de distância a (a) 240 V rms e (b) 4,4 \mathrm{kV} rms.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Resistência da linha: r = 0,020\\ \Omega/\mathrm{km}.
    • Distância entre gerador e cidade: L = 10\\ \mathrm{km}.
    • Potência entregue à cidade: P = 200\\ \mathrm{kW}.
    • Dois casos de tensão de transmissão (valor eficaz / rms):
      • (a) V_{rms}=240\\ \mathrm{V}.
      • (b) V_{rms}=4{,}4\\ \mathrm{kV} (ou seja, 4400\\ \mathrm{V}).
  • O que o problema pede:
    • Calcular a perda de potência por aquecimento Joule na linha (ou seja, as perdas ôhmicas) para os dois casos de tensão acima.

Passo 2

Observação sobre a resistência total que leva às perdas: a resistência dada é por quilômetro de um condutor. Para que haja corrente do gerador até a cidade e retorno, o circuito efetivo normalmente envolve dois condutores (ida e volta), então a resistência total do circuito de transmissão será o dobro da resistência por único condutor multiplicada pela distância. Vou adotar essa hipótese (linha de ida + retorno) porque é o modelo mais comum em exercícios básicos e porque, sem essa consideração, as perdas calculadas seriam incorretas (muito menores). Se o enunciado quisesse usar apenas um condutor já considerando o retorno embutido, deveria ter dito explicitamente — como não disse, uso o modelo padrão de dois condutores.
Calculemos a resistência total do circuito:
R_{\text{total}} = 2 \cdot r \cdot L.
Substituindo:
R_{\text{total}} = 2 \cdot 0,020\\ \Omega/\mathrm{km} \cdot 10\\ \mathrm{km} = 0,40\\ \Omega.

Passo 3

Fórmulas fundamentais e explicação didática:
  • A potência elétrica (ativa) entregue à carga, para corrente eficaz \,I_{rms}\, e tensão eficaz \,V_{rms}\, com fator de potência 1, é dada por
P = V_{rms}\cdot I_{rms}.
Aqui assumimos fator de potência unitário (carga puramente resistiva ou potência ativa indicada), que é a hipótese usual quando só nos dão P e V.
  • A perda por efeito Joule na resistência R é dada por
P_{\text{perda}} = I_{rms}^2 \cdot R.
Essa fórmula vem de P = V\cdot I com V = I\cdot R, portanto P = I\cdot (I R) = I^2 R. É a energia dissipada por segundo na resistência na forma de calor.
Plano de ação para cada caso de tensão:
  1. Calcular a corrente eficaz usando I_{rms} = \dfrac{P}{V_{rms}}.
  2. Calcular P_{\text{perda}} = I_{rms}^2 \cdot R_{\text{total}}.
  3. Expressar o resultado em watts (ou kW) e comentar se for útil.

Passo 4

Caso (a): transmissão a 240\\ \mathrm{V}.
Calcule a corrente eficaz:
I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{200\\ \mathrm{kW}}{240\\ \mathrm{V}}.
Converter 200\\ \mathrm{kW} para watts para fazer a conta:
200\\ \mathrm{kW} = 200000\\ \mathrm{W}.
Portanto
I_{rms} = \frac{200000\\ \mathrm{W}}{240\\ \mathrm{V}} = 833{,}333\ldots\\ \mathrm{A}.
Vou manter algumas casas para clareza: I_{rms}\approx 833{,}33\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Ainda no caso (a), calcule a perda por Joule usando R_{\text{total}}=0{,}40\\ \Omega:
P_{\text{perda}} = I_{rms}^2 \cdot R_{\text{total}} = (833{,}333\ldots)^2 \cdot 0{,}40\\ \Omega.
Calcule I_{rms}^2:
I_{rms}^2 = 833{,}333\ldots^2 = 694444{,}444\ldots\\ \mathrm{A}^2.
Agora a perda:
P_{\text{perda}} = 694444{,}444\ldots \cdot 0{,}40 = 277777{,}777\ldots\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma sensata:
P_{\text{perda}} \approx 277777{,}78\\ \mathrm{W} \approx 278\\ \mathrm{kW}.
Comentário rápido: as perdas são maiores que a potência transmitida (200 kW), mostrando por que tensões baixas são impraticáveis para transmissões longas.

Passo 6

Caso (b): transmissão a 4{,}4\\ \mathrm{kV} (ou 4400\\ \mathrm{V}).
Calcule a corrente eficaz:
I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{200000\\ \mathrm{W}}{4400\\ \mathrm{V}} = 45{,}4545\ldots\\ \mathrm{A}.
Posso anotar I_{rms}\approx 45{,}45\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Ainda no caso (b), calcule a perda por Joule com R_{\text{total}}=0{,}40\\ \Omega:
P_{\text{perda}} = I_{rms}^2 \cdot R_{\text{total}} = (45{,}4545\ldots)^2 \cdot 0{,}40.
Calcule I_{rms}^2:
I_{rms}^2 = 45{,}4545\ldots^2 \approx 2066{,}1157\\ \mathrm{A}^2.
Agora a perda:
P_{\text{perda}} \approx 2066{,}1157 \cdot 0{,}40 \approx 826{,}4463\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P_{\text{perda}} \approx 826{,}45\\ \mathrm{W} \approx 0{,}826\\ \mathrm{kW}.
Comparação intuitiva: transmitindo à alta tensão a corrente é bem menor, e as perdas se tornam desprezíveis frente a 200\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Resumo final numérico e interpretação curta:
  • Caso (a) 240\\ \mathrm{V}: perda por Joule aproximadamente 278\\ \mathrm{kW} (muito alta; maior que a potência útil transmitida).
  • Caso (b) 4{,}4\\ \mathrm{kV}: perda por Joule aproximadamente 0{,}826\\ \mathrm{kW} (bem pequena).
Esses resultados mostram por que usamos tensões altas para transmissão de potência: perdas ôhmicas caem com o quadrado da corrente, e a corrente é inversamente proporcional à tensão.

Resposta

(a) 278\\ \mathrm{kW}
(b) 0{,}826\\ \mathrm{kW}

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