. Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problema
& a^2 ux x=ut t, & u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x), -infty<x<infty & é dada por & u(x, t)=12[f(x-a t)+f(x+a t)]+12 a integralx-a t^x+a t g(xi) d xi é

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional
a^2,uxx=utt, -infty<x<infty,;t>0,
com condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)
O conteúdo é a fórmula de D’Alembert; para chegar lá vamos precisar da solução geral em “ondas viajantes” (Problema 16) e da relação entre as derivadas temporais e as funções iniciais (Problema 17).

Passo 2

Pelo resultado do Problema 16, a solução geral da equação homogênea é soma de duas ondas viajantes
u(x,t)=F(xi)+G(eta), xi=x-at,;eta=x+at,
pois ao substituir nessa forma satisfaz-se automaticamente a^2uxx=utt

Passo 3

Impondo a condição inicial de deslocamento em t=0, temos
u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x)

Passo 4

Pelo Problema 17, a derivada temporal em t=0 é
ut(x,0)=-a,F'(x)+a,G'(x)=g(x)
Dividindo por a e rearranjando,
G'(x)-F'(x)=1a,g(x)

Passo 5

Integramos essa última equação entre x0 e x, escolhendo x0 arbitrário (o termo constante cai ao somar com F+G):
G(x)-F(x) =1aintegralx0^xg(xi),dxi
Agora resolvemos o sistema
F(x)+G(x)=f(x),[6pt] G(x)-F(x)=dfrac1aintegralx0^xg(xi),dxi,
cuja solução é
F(x)=tfrac12,f(x)-12a!integralx0^xg(xi),dxi, G(x)=tfrac12,f(x)+12a!integralx0^xg(xi),dxi ]

Passo 6

Finalmente, voltamos à forma geral
u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
Substituindo F e G e usando propriedades de integrais, obtemos
u(x,t) =tfrac12l[f(x-at)+f(x+at)r] +12al[!!integralx0^,x+atg(xi),dxi -!!integralx0^,x-atg(xi),dxir]
que pela regra de Barrow passa a
u(x,t) =tfrac12l[f(x-at)+f(x+at)r] +12aintegral,x-at^,x+atg(xi),dxi

Resposta

u(x,t) =12l[f(x-at)+f(x+at)r] +12aintegralx-at^,x+atg(xi),dxi

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