use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros de forma mais simples, vamos primeiro fatorar o operador diferencial e reduzir o problema a duas EDOs de 2ª ordem.
Passo 2
Encontramos a solução geral da homogênea associada
A equação característica é
Logo, o conjunto fundamental de soluções da homogênea é
e a solução geral homogênea é
Passo 3
Observe que o operador se fatoriza como
Defina a função auxiliar
Então a equação original fica
Passo 4
Resolvemos por variação de parâmetros a EDO de 2ª ordem
A homogênea tem soluções
e
. O Wronskiano é 1. Pelo método, definimos
Integramos
Assim a particular é
Os termos com
,
produzem soluções da homogênea de
e podem ser absorvidos nos constantes. O termo não removível é
Logo a solução geral de
é
Passo 5
Agora voltamos à relação
. Substituindo a parte particular de
, resta resolver
Aplicamos variação de parâmetros outra vez com as mesmas soluções fundamentais
. O único forçamento não absorvível produzirá, após cálculo dos integrandos e integrações por partes, a solução particular
Assim a solução geral da EDO original é a soma da homogênea do passo 2 com este particular.