use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
y^(4)+2 y^prime prime+y=sin t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y^(4) + 2y'' + y = sin t
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros de forma mais simples, vamos primeiro fatorar o operador diferencial e reduzir o problema a duas EDOs de 2ª ordem.

Passo 2

Encontramos a solução geral da homogênea associada
y^(4) + 2y'' + y = 0
A equação característica é
r^4 + 2r^2 + 1 = 0 Longrightarrow (r^2 + 1)^2 = 0 Longrightarrow r = pm i,;cada um com mu<iplicidade 2
Logo, o conjunto fundamental de soluções da homogênea é
,cos t,;sin t,;tcos t,;tsin t
e a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t + C3,tcos t + C4,tsin t

Passo 3

Observe que o operador se fatoriza como
D^4 + 2D^2 +1 = (D^2+1)^2
Defina a função auxiliar
z(t) = (D^2+1),y(t) = y''(t) + y(t)
Então a equação original fica
(D^2+1)l(z(t)r) = sin t Long<=ftrightarrow z''(t) + z(t) = sin t

Passo 4

Resolvemos por variação de parâmetros a EDO de 2ª ordem
z'' + z = sin t
A homogênea tem soluções cos t e sin t. O Wronskiano é 1. Pelo método, definimos
u1'(t) = -sin tcdotsin t1 = -sin^2 t, u2'(t) = sin tcdotcos t1 = sin tcos t
Integramos
u1(t) = -integral sin^2 t,dt = - t2 + sin(2t)4, u2(t) = integral sin tcos t,dt = sin^2 t2
Assim a particular é
zp = u1cos t + u2sin t = l(-tfrac t2 + tfracsin(2t)4r)cos t + sin^2 t2,sin t
Os termos com sin(2t), sin^2t produzem soluções da homogênea de z e podem ser absorvidos nos constantes. O termo não removível é
zp(t) = - t2cos t
Logo a solução geral de z é
z(t) = C3cos t + C4sin t ;-; t2cos t

Passo 5

Agora voltamos à relação y'' + y = z(t). Substituindo a parte particular de z, resta resolver
y'' + y = - t2cos t
Aplicamos variação de parâmetros outra vez com as mesmas soluções fundamentais cos t,sin t. O único forçamento não absorvível produzirá, após cálculo dos integrandos e integrações por partes, a solução particular
yp(t) = -18,t^2sin t
Assim a solução geral da EDO original é a soma da homogênea do passo 2 com este particular.

Resposta

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