Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as très modalidades e todos jogam pelo menos uma das modalidades. Além disto, o número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
Quantas jogam xadrez e nāo jogam tênis?
Resposta: square

Passo 1

O enunciado trata de três conjuntos de esportistas: quem joga vôlei ( V), xadrez ( C) e tênis ( T). Sabemos:
;n(V)=40,;n(Vcap C)=20,;n(Ccap T)=22,;n(Vcap T)=18,;n(Vcap Ccap T)=11,
todos jogam pelo menos uma modalidade ( n(Vcup Ccup T)=99) e ainda
;n(C)=n(T).
Queremos encontrar quantos jogam xadrez e não jogam tênis, ou seja n(Ccap T^c). Para isso usaremos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão,
n(Vcup Ccup T) = n(V)+n(C)+n(T) - n(Vcap C)-n(Ccap T)-n(Vcap T) + n(Vcap Ccap T)
Como n(Vcup Ccup T)=99 e n(C)=n(T)=x, substituímos os valores:
99 = 40 + x + x - 20 - 22 - 18 + 11

Passo 3

Simplificando a equação:
99 = 2x + (40 - 20 - 22 - 18 + 11) = 2x + (-9),
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2x = 99 + 9 = 108 Longrightarrow x = 54
Portanto n(C)=54 e n(T)=54.

Passo 4

O número de pessoas que jogam xadrez e não jogam tênis é
n(Ccap T^c) = n(C) - n(Ccap T) = 54 - 22 = 32

Resposta

32

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