Reescreva usando radiciação:
\log _{7} \sqrt{49}

Passo 1

Enunciado: Reescreva usando radiciação: \log_{7} \sqrt{49}.
Informações dadas:
\sqrt{49} é a raiz quadrada principal de 49.
A expressão inteira é o logaritmo de base 7 aplicado a essa raiz: \log_{7}\big(\sqrt{49}\,\big).
O que se pede: transformar/avaliar essa expressão usando propriedades de radiciação e potências, até obter a resposta numérica final.

Passo 2

Vamos recordar o que significa a raiz quadrada e como escrevê-la como potência racional. A raiz quadrada principal de um número a\ge0 é o número positivo que, ao ser elevado ao quadrado, dá a. Em notação de potências:
\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.
Aqui a=49, então podemos escrever
\sqrt{49}=49^{\frac{1}{2}}.
Nota: estou usando a convenção da raiz principal (positiva), então \sqrt{49}=7, pois 7^2=49.

Passo 3

Expressamos 49 como potência de 7. Sabemos que
49=7^2.
Substituindo em \sqrt{49}=49^{1/2}, obtemos
\sqrt{49}=(7^2)^{\frac{1}{2}}.

Passo 4

Usamos a propriedade de potências que diz que (a^m)^n=a^{m\cdot n}. Aplicando aqui:
(7^2)^{\frac{1}{2}}=7^{2\cdot\frac{1}{2}}=7^{1}=7.
Portanto concluímos, por radiciação e regras de potência, que
\sqrt{49}=7.

Passo 5

Agora substituímos o resultado dentro do logaritmo:
\log_{7}\big(\sqrt{49}\,\big)=\log_{7}(7).
Usamos a definição/propriedade básica do logaritmo: \log_{b}(b^{k})=k para qualquer base b>0, b\neq0. Aqui b=7 e k=1, porque 7=7^{1}. Assim
\log_{7}(7)=1.

Resposta

1

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