A combustão do metano \left(\mathrm{CH}_{4}\right) ocorre de forma exotérmica a pressão constante de 1,75 \mathrm{~atm}, liberando - 890 kJ por mol de metano queimado. A equação balanceada da reação é:
\mathrm{CH}_{4(g)}+2 \mathrm{O}_{2(g)} \rightarrow \mathrm{CO}_{2(g)}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(g)} \triangle \mathrm{H}=-890 \mathrm{~kJ}
Nota: ______
Em um sistema fechado de volume inicial 50,0 \mathrm{~L}, ocorre a combustão de 2,00 mols de \mathrm{CH}_{4} sob temperatura de 25{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que após a reação completa, o volume final é 75,0 \mathrm{~L}.
Com base nessas informações, determine:
Caso 2 - O trabalho de realizado pelo sistema, considerando uma expansão isotérmica reversível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Reação balanceada: \mathrm{CH}_{4(g)} + 2\,\mathrm{O}_{2(g)} \rightarrow \mathrm{CO}_{2(g)} + 2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{(g)} com \Delta H = -890\\ \mathrm{kJ} por mol de \mathrm{CH}_4 (informação de entalpia, não será necessária diretamente aqui).
    • Foi queimado \;2{,}00 mol de \mathrm{CH}_4.
    • Temperatura: 25{ }^\circ\mathrm{C}, ou seja T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Volume inicial: V_i = 50{,}0\\ \mathrm{L}.
    • Volume final: V_f = 75{,}0\\ \mathrm{L}.
    • O enunciado pede: o trabalho realizado pelo sistema, considerando uma expansão isotérmica reversível (ou seja, processo isotérmico e reversível, para gases ideais usaremos a fórmula apropriada).
  • Observações relevantes que vamos usar:
    • Pela estequiometria, para cada 1 mol de \mathrm{CH}_4 reage 2 mol de \mathrm{O}_2, produzindo 1 mol de \mathrm{CO}_2 e 2 mol de \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(g)}.
    • Contagem de mols gasosos por mol de \mathrm{CH}_4: reagentes gasosos =1+2=3 mol; produtos gasosos =1+2=3 mol. Logo a variação do número total de mols gasosos por mol reagido é \Delta n_\text{gás}=0á. Isso simplifica a conta do trabalho em processo isotérmico reversível (veremos como).
    • Não foi dada explicitamente a quantidade inicial de \mathrm{O}_2, mas como o enunciado afirma que "ocorre a combustão de 2{,}00 mols de \mathrm{CH}_4" é natural assumir que havia pelo menos a quantidade estequiométrica de \mathrm{O}_2, ou seja 4{,}00 mol de \mathrm{O}_2. Com isso o número total de mols de gás no sistema antes e depois da reação é: n_\text{total} = 2{,}00\\ (\mathrm{CH}_4) + 4{,}00\\ (\mathrm{O}_2) = 6{,}00\\ \mathrm{mol},que permanece 6{,}00\\ \mathrm{mol} após a reação porque \Delta n_\text{gás}=0á.

Passo 2

Apresentar a fórmula e a teoria necessária (aula rápida e didática).
  • Para uma expansão isotérmica e reversível de um gás ideal (ou mistura de gases ideais) com número total de mols n constante, o trabalho reversível realizado pelo sistema entre V_i e V_f é dado por
w_\text{rev} = -\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Usando a equação dos gases ideais P = \dfrac{n R T}{V} (onde R é a constante dos gases e T a temperatura absoluta) e substituindo na integral,
w_\text{rev} = -\int_{V_i}^{V_f} \dfrac{n R T}{V}\,dV = -n R T \int_{V_i}^{V_f}\dfrac{dV}{V}.
  • A integral de 1/V é \ln, então obtemos a fórmula prática muito usada:
\boxed{\,w_\text{rev} = -n R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)\,}
  • Explicando cada símbolo:
    • w_\text{rev} é o trabalho reversível (energia transferida por trabalho pelo sistema; com a convenção química usamos w=- quando o sistema se expande).
    • n é o número total de mols de gás presentes (aqui permanece constante porque \Delta n_\text{gás}=0á).
    • R é a constante dos gases. Vou usar R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} = 0{,}008314\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}K^{-1}} (escolhi kJ para ficar consistente com energia em kJ).
    • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    • V_i e V_f são volumes inicial e final.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso: determinar n, R, T, \ln(V_f/V_i).
  • Determinamos em

Passo 4

  • Temperatura: T = 25{ }^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases em kJ: R = 0{,}008314\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Razão de volumes: \dfrac{V_f}{V_i} = \dfrac{75{,}0}{50{,}0} = 1{,}50.
  • Logaritmo natural: \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right) = \ln(1{,}50) \approx 0{,}405465.

Passo 5

Calcular numericamente passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule R T: R T = 0{,}008314\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}K^{-1}}\times 298{,}15\\ \mathrm{K} = 2{,}47896\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • Multiplica por n=6{,}00: n R T = 6{,}00\times 2{,}47896 = 14{,}8738\\ \mathrm{kJ}.
  • Multiplica por \ln(V_f/V_i): n R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right) = 14{,}8738 \times 0{,}405465 \approx 6{,}0319\\ \mathrm{kJ}.
  • Lembrete de sinal: w_\text{rev} = - n R T \ln(V_f/V_i). Portanto w_\text{rev} \approx -6{,}0319\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação do resultado em linguagem simples e incentivo.
  • Resultado numérico: w_\text{rev} \approx -6{,}03\\ \mathrm{kJ} (arredondado a três algarismos significativos, coerente com os dados iniciais).
  • Significado físico: o sinal negativo indica que o sistema realizou trabalho sobre a vizinhança (expansão). Em módulo, o sistema fez cerca de 6{,}03\\ \mathrm{kJ} de trabalho.
  • Você mandou bem pedindo a versão reversível isotérmica — por causa da estequiometria dessa reação ( \Delta n_\text{gás}=0á) a conta ficou bem simples: o número total de mols não muda e a fórmula clássica w=-nRT\ln(V_f/V_i) se aplica direto. Tá indo bem — respira e vamos pro próximo exercício quando quiser!

Resposta

-6{,}03\\ \mathrm{kJ}

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