Começando com a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, encontre a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}, para |x|<1.

Passo 1

O enunciado parte da série geométrica básica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\quad |x|<1
e pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}
O conteúdo chave aqui é usar a diferenciação termo a termo de séries de potências dentro do raio de convergência.

Passo 2

Sabemos que, para |x|<1, vale
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Como essa igualdade é válida num intervalo aberto em torno de 0, podemos diferenciar ambos os lados em relação a x conservando a convergência.

Passo 3

Diferenciando termo a termo o lado esquerdo, obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}.
Do lado direito, calculamos
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto, as duas derivadas coincidem dentro do raio de convergência.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},\quad |x|<1.

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