Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
, para
.
Passo 1
O enunciado parte da série geométrica básica
e pede a soma da série
O conteúdo chave aqui é usar a diferenciação termo a termo de séries de potências dentro do raio de convergência.
Passo 2
Sabemos que, para
, vale
Como essa igualdade é válida num intervalo aberto em torno de
, podemos diferenciar ambos os lados em relação a
conservando a convergência.
Passo 3
Diferenciando termo a termo o lado esquerdo, obtemos
Do lado direito, calculamos
Portanto, as duas derivadas coincidem dentro do raio de convergência.