Determine c classifique os pontos críticos da função:
f(x, y)=-2 x^{3}-y^{3}+3 x^{2}+3 y+5

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y) = -2x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y + 5
ou seja, onde o gradiente de f é zero, e depois classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -6x^2 + 6x,
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -3y^2 + 3.
Para pontos críticos precisamos de
f_x = 0, \quad f_y = 0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
-6x^2 + 6x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \text{ ou } x=1,
-3y^2 + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; y^2=1 \;\Longrightarrow\; y=1 \text{ ou } y=-1.
Logo, há quatro pontos críticos:
(0,1), (0,-1), (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Para classificar usamos o Hessiano. Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -12x + 6,
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -6y,
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0.
O discriminante do Hessiano é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = f_{xx}\,f_{yy}.

Passo 5

Avaliaremos f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto:
(0,1):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=-6,\quad D=6\cdot(-6)=-36<0 \;\Longrightarrow\; \text{sela}.
(0,-1):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=6,\quad D=6\cdot 6=36>0,\;f_{xx}>0 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo local}.í
(1,1):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=-6,\quad D=(-6)\cdot(-6)=36>0,\;f_{xx}<0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo local}.á
(1,-1):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=6,\quad D=(-6)\cdot 6=-36<0 \;\Longrightarrow\; \text{sela}.

Resposta

(0,1): ponto de sela.
(0,-1): mínimo local.
(1,1): máximo local.
(1,-1): ponto de sela.

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