Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função definida por f(x, y)=x^{2}+y^{2}, em x=1, y=-2.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} em x=1,\;y=-2. O gráfico é a superfície z=f(x,y) e, para obter o plano tangente, precisamos das derivadas parciais e da fórmula do plano tangente a uma superfície.

Passo 2

Identificamos o ponto de tangência (x_{0},y_{0})=(1,-2). A altura nessa superfície é
z_{0}=f(1,-2)=1^{2}+(-2)^{2}=5.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y)=2x, \qquad f_{y}(x,y)=2y.
Em (1,-2) isso dá
f_{x}(1,-2)=2\cdot1=2, \qquad f_{y}(1,-2)=2\cdot(-2)=-4.

Passo 4

A fórmula geral do plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z = z_{0} + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).

Passo 5

Substituindo os valores calculados, temos
z = 5 + 2\,(x-1) -4\,(y+2).
Expandindo e simplificando,
z = 5 + 2x - 2 -4y -8 = 2x - 4y -5.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 2x - 4y - 5.

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