Começando com a série geométrica sumn=0^infty x^n, encontre a soma da série
sumn=1^infty n x^n-1
para |x|<1. Use isso para encontrar a soma da série sumn=1^infty n2^n.

Passo 1

O enunciado pede para achar a soma da série de potências sumn=1^infty n x^n-1 (para |x|<1) usando a série geométrica básica, e depois usar esse resultado para calcular sumn=1^infty n2^n.

Passo 2

A série geométrica clássica diz que, para |x|<1, temos
sumn=0^infty x^n = 11-x

Passo 3

Como podemos derivar termo a termo uma série de potências dentro do raio de convergência, derivamos ambos os lados dessa igualdade em relação a x. No lado esquerdo a derivada de x^n é n x^n-1, e no lado direito usamos a regra do quociente:
ddxl(tfrac11-xr) = 1(1-x)^2

Passo 4

Logo obtemos
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1-x)^2

Passo 5

Para achar sumn=1^infty n2^n, note que isso é a mesma série com x=tfrac12, mas multiplicada por x:
sumn=1^infty n x^n = xsumn=1^infty n x^n-1 = x(1-x)^2

Passo 6

Substituindo x=tfrac12 na expressão acima, vem
sumn=1^infty n2^n = tfrac12l(1-tfrac12r)^2 = tfrac12(tfrac12)^2 = 2

Resposta

A soma geral é sumn=1^infty n x^n-1 = tfrac1(1-x)^2 e, em particular, sumn=1^infty tfracn2^n = 2.

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