Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
para
. Use isso para encontrar a soma da série
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a soma da série de potências
(para
) usando a série geométrica básica, e depois usar esse resultado para calcular
.
Passo 2
A série geométrica clássica diz que, para
, temos
Passo 3
Como podemos derivar termo a termo uma série de potências dentro do raio de convergência, derivamos ambos os lados dessa igualdade em relação a
. No lado esquerdo a derivada de
é
, e no lado direito usamos a regra do quociente:
Passo 4
Logo obtemos
Passo 5
Para achar
, note que isso é a mesma série com
, mas multiplicada por
:
Passo 6
Substituindo
na expressão acima, vem
Resposta
A soma geral é
e, em particular,
.