Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
y^prime prime-y=0

Passo 1

A questão pede pra achar a relação de recorrência dos coeficientes de uma série de potências que satisfaz a EDO y''-y=0. Vamos usar o método de séries de potências: derivar termo a termo e comparar coeficientes.

Passo 2

Começamos lembrando que
y(x)=sumn=0^inftyann!x^n
Derivando termo a termo obtemos
y'(x)=sumn=0^inftyan+1n!x^n
e
y''(x)=sumn=0^inftyan+2n!x^n

Passo 3

Substituímos essas expressões na EDO y''-y=0:
sumn=0^inftyan+2n!x^n;- sumn=0^inftyann!x^n =0
É a mesma soma de x^n, então os coeficientes devem anular:

Passo 4

Para cada n>=0,
an+2-ann!=0
que implica
an+2=an;

Resposta

an+2=an, para todo n>=0.

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