Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de M3 times 3 ?
W=(ccc a & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0 ) ; d=a+b+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de (as matrizes 3x3). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre subespaços vetoriais, que são tipos especiais de conjuntos que respeitam certas regras dentro de um espaço vetorial maior. Vamos conferir passo a passo se satisfaz essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja realmente um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero (toda com entradas iguais a zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se multiplicarmos uma matriz de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
A matriz zero em 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 é:
A = a1 & b1 & c1 0 & 0 & 0 0 & d1 & 0 , onde d1 = a1 + b1 + c1
No conjunto B = a2 & b2 & c2 0 & 0 & 0 0 & d2 & 0 , onde d2 = a2 + b2 + c2 , temos que A + B = a1 + a2 & b1 + b2 & c1 + c2 0 & 0 & 0 0 & d1 + d2 & 0 . Se d1 + d2 = (a1 + b1 + c1) + (a2 + b2 + c2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) + (c1 + c2) , então kA = k a & k b & k c 0 & 0 & 0 0 & k d & 0 , onde d = a + b + c . Portanto, a matriz zero está em k d = k(a + b + c) = k a + k b + k c .
2. Verificando a adição:
Vamos considerar duas matrizes quaisquer em :
Somando e :
Precisamos verificar se .
Como e , temos:
Portanto, a soma também pertence a .
3. Verificando a multiplicação escalar:
Vamos multiplicar uma matriz de por um escalar :
Precisamos verificar se .
Como , multiplicando ambos os lados por :
Portanto, também pertence a .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de . Portanto, é um subespaço vetorial de .

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