Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deviam conter . A pesagem de 40 sacas revelou os resultados representados na tabela abaixo:
Pesos de sacas
1
3
8
9
10
6
3
Pede-se:
a) A média da distribuição;
b) A mediana;
c) A moda (Czuber);
d) O septuagésimo quinto percentil;
e) O terceiro decil;
f) A variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências de pesos de n=40 sacas agrupadas em classes de amplitude m=0,5 kg. Vamos estimar a média aritmética, a mediana, a moda (fórmula de Czuber), o 75.º percentil ( P75), o 30.º percentil ( P30), a variância populacional e o desvio padrão, usando os pontos médios de classe para as fórmulas de distribuições agrupadas.

Passo 2

Para a média calculamos os pontos médios de cada classe e o produto , depois
Tabela resumida:
Logo

Passo 3

Para a mediana nota-se que tfracn2=20. Pelo cumulativo de frequências
1,;4,;12,;21,dots
a 20.ª observação cai na classe [16,05,16,55) cuja frequência é fm=9, o limite inferior Lm=16,05 e o acumulado antes desta classe é 12. A mediana em dados agrupados é
tilde x = Lm + tfrac n2 - cfbfm,m =16,05 + 20-129times0,5 =16,05 + 0,4444 =16,4944 kg

Passo 4

A moda (Czuber) usa a classe modal [16,55,17,05) com f0=10, f-1=9 e f+1=6, limite inferior L0=16,55. A fórmula é
Mo = L0 + f0 - f-12f0 - f-1 - f+1,m =16,55 + 10-92cdot10-9-6times0,5 =16,55 + 0,10 =16,65 kg

Passo 5

Usamos a fórmula genérica para o k-ésimo percentil Pp em dados agrupados:
Pp = Lp + p,n - cfbfp,m
(a) Para P75 temos p,n=0,75cdot40=30, cai na classe [16,55,17,05) onde o cfb é 21 e fp=10, logo
P75 =16,55 + 30-2110times0,5 =16,55 + 0,45 =17,00 kg
(b) Para P30 temos p,n=0,30cdot40=12, cai na classe [15,55,16,05) com cfb=4 e fp=8, logo
P30 =15,55 + 12-48times0,5 =15,55 + 0,50 =16,05 kg

Passo 6

Para a variância populacional calculamos
sum xi^2 fi e usamos
sigma^2 =sum xi^2 fin - bar x^2
Dos pontos médios obteve-se sum xi^2 fi=10878,30. Então
sigma^2 =10878,3040 - (16,475)^2 =271,9575 - 271,4281 =0,5294 (kg^2),
sigma =raiz0,5294 approx0,728 kg

Resposta

a) bar x =16,475 kg
b) tilde x =16,494 kg
c) Mo=16,65 kg
d) P75=17,00 kg
e) P30=16,05 kg
f) sigma^2=0,5294 kg^2, sigma=0,728 kg

Exercícios relacionados