Um comerciante comprou 48 garrafas de água por R$2,00 a unidade e estabeleceu um preço de venda que lhe concedia uma margem de lucro de 20 \%. Após vender metade das garrafas, ele aumentou o percentual de sua margem de lucro em 50% e vendeu todas as garrafas restantes.
Qual foi o valor total, em real, arrecadado com a venda de todas as suas garrafas?
R$ 163,20
R$ 144,00
R$ 129,60
R$ 120,00
R$ 115,20

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado diretamente do texto):
  • Comprou 48 garrafas.
  • Custo de cada garrafa: \text{R\$ }2{,}00.
  • Estabeleceu inicialmente uma margem de lucro de 20\%.
  • Após vender metade das garrafas, aumentou o percentual da margem de lucro em 50\%.
  • Em seguida vendeu todas as garrafas restantes.
    O que o problema pede: determinar o valor total, em reais, arrecadado com a venda de todas as garrafas.

Passo 2

Vamos esclarecer o que significa “margem de lucro” nesta questão (isto é importante para não cometer erro de conceito). Existem duas interpretações possíveis em problemas do dia a dia:
  • Margem em relação ao custo (markup): o preço de venda é obtido multiplicando o custo por 1+ margem. Ou seja, se a margem é m (em decimal), então
\text{preço de venda} = \text{custo} \times (1+m).ç
  • Margem em relação ao preço de venda (lucro sobre o preço): a margem é \dfrac{\text{preço} - \text{custo}}{\text{preço}}çç.
Neste tipo de exercício de comércio simples, a interpretação mais direta e ensinada primeiro é a da margem em relação ao custo (markup). Além disso, essa interpretação dá números simples (fáceis de calcular à mão) e é a escolha mais natural quando se fala “estabeleceu um preço que lhe concedia uma margem de lucro de 20\%”. Portanto usaremos a fórmula do markup (primeira interpretação).

Passo 3

Definimos as variáveis e a fórmula que vamos usar:
  • c = custo por garrafa =\text{R\$ }2{,}00.
  • m_1 = margem inicial =20\%=0{,}20.
  • Fórmula do preço de venda (markup):
p = c \times (1 + m).
Aplicando para a margem inicial m_1:
p_1 = c \times (1 + m_1).

Passo 4

Calculemos p_1. Substituindo c=\text{R\$ }2{,}00 e m_1=0{,}20:
p_1 = \text{R\$}2{,}00 \times (1 + 0{,}20) = \text{R\$ }2{,}00 \times 1{,}20.
Agora a conta passo a passo:
\text{R\$}2{,}00 \times 1{,}20 = \text{R\$ }(2{,}00 \times 1) + \text{R\$}(2{,}00 \times 0{,}20) = \text{R\$ }2{,}00 + \text{R\$}0{,}40 = \text{R\$ }2{,}40.
Portanto o preço de venda das primeiras garrafas é p_1=\text{R\$ }2{,}40.

Passo 5

Agora tratamos do aumento da margem. O enunciado diz que ele “aumentou o percentual de sua margem de lucro em 50\%”. Isso significa que a nova margem m_2 é
m_2 = m_1 \times (1 + 0{,}50) = m_1 \times 1{,}50.
Substituindo m_1=0{,}20:
m_2 = 0{,}20 \times 1{,}50 = 0{,}30 = 30\%.

Passo 6

Calculemos o novo preço de venda p_2 usando a mesma fórmula do markup:
p_2 = c \times (1 + m_2).
Com c=\text{R\$ }2{,}00 e m_2=0{,}30:
p_2 = \text{R\$}2{,}00 \times 1{,}30 = \text{R\$ }(2{,}00 \times 1) + \text{R\$}(2{,}00 \times 0{,}30) = \text{R\$ }2{,}00 + \text{R\$}0{,}60 = \text{R\$ }2{,}60.

Passo 7

Agora vamos calcular quantas garrafas foram vendidas a cada preço. “Metade das garrafas” de 48 é
\frac{48}{2}=24.
Logo:
  • 24 garrafas vendidas a p_1=\text{R\$ }2{,}40.
  • 24 garrafas vendidas a p_2=\text{R\$ }2{,}60.

Passo 8

Calculamos a receita de cada etapa (fazendo as contas passo a passo, sem calculadora):
Receita da primeira parte:
R_1 = 24 \times \text{R\$ }2{,}40.
Calculemos:
24 \times 2{,}40 = 24 \times 2 + 24 \times 0{,}40 = 48 + 9{,}6 = 57{,}6.
Portanto R_1=\text{R\$ }57{,}60.
Receita da segunda parte:
R_2 = 24 \times \text{R\$ }2{,}60.
Calculemos:
24 \times 2{,}60 = 24 \times 2 + 24 \times 0{,}60 = 48 + 14{,}4 = 62{,}4.
Portanto R_2=\text{R\$ }62{,}40.

Passo 9

Somamos as receitas para obter a arrecadação total:
R_{\text{total}} = R_1 + R_2 = \text{R\$}57{,}60 + \text{R\$ }62{,}40.
Somando:
57{,}60 + 62{,}40 = 120{,}00.
Logo a arrecadação total foi \text{R\$ }120{,}00.

Resposta

\text{R\$ }120{,}00

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