Em uma partida de vôlei, apenas um time pontua por vez, e cada set comum é definido quando uma equipe alcança 25 pontos, com uma diferença de 2 pontos em relação à equipe adversária.
Fixando a pontuação de uma das equipes como 24, qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: uma das equipes tem pontuação igual a
.
A pergunta é: qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?
A pergunta é: qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?
Passo 1 — lista do que temos e do que é pedido:
- Dado: uma equipe com
pontos. - Pedido: mínimo de pontos (total da outra equipe) necessário para que o set seja encerrado.
Passo 2
Regra do vôlei (essencial para o raciocínio): um set comum termina quando uma equipe alcança pelo menos
pontos e tem vantagem de pelo menos
pontos sobre a adversária.
Vou escrever essa condição de forma direta:
Aqui
é a pontuação da equipe que ganha o set e
a da outra equipe.
Passo 3
Nomeando as equipes: chamo de A a equipe que está com
pontos (fixada pelo enunciado) e de B a outra equipe, cuja pontuação final vou chamar de
. Queremos o menor
inteiro não-negativo tal que o set possa terminar sob as regras acima.
Existem duas possibilidades para quem vence o set:
- Caso 1: A vence o set.
- Caso 2: B vence o set.
Vou examinar ambas para ver qual produz o menor
.
Passo 4
Caso 1 — A (a que tem
) vence:
Para A vencer, no final A deve ter e
. Se A já tem
, pode marcar um ponto e ficar com
. Para que ao ficar
a vantagem seja de pelo menos
, o adversário B deve ter no máximo
. Portanto, é possível terminar com
. Assim, nesta situação o valor de
pode ser tão pequeno quanto
,
,
até
. Isso mostra que se A vence imediatamente, o valor de
pode ser até
.
Para A vencer, no final A deve ter
No entanto, a pergunta pede o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine — o problema costuma interpretar “a outra equipe” como a equipe que tenta encerrar o set (i.e., vencer o set). Por isso precisamos também analisar o caso em que B é a vencedora, pois aí a outra equipe (B) precisa fazer um certo número mínimo de pontos para que o set termine com ela vencendo.
Passo 5
Caso 2 — B (a “outra equipe”) vence:
Para B vencer, deve valer
Para B vencer, deve valer
Sabendo que
, a segunda condição exige
Portanto, se a intenção é que B seja a equipe que faz pontos suficientes para que o set termine (ou seja, B vence o set), o menor valor possível de
que satisfaz as regras é
. Se
então
, insuficiente, o jogo continuaria.
Passo 6
Interpretação final: existem duas leituras do enunciado:
- Se a interpretação for “qual o menor total que a outra equipe pode ter no resultado final quando o set terminar (sem especificar qual vence)”, então esse menor total possível é
(ou qualquer número até ) — porque a equipe com pode ganhar logo e o adversário então teria no máximo . Mas essa resposta é trivial e geralmente não é o que se busca. - Se a interpretação for “qual o menor total que a outra equipe precisa alcançar para que ela própria faça o set terminar (isto é, para que a outra equipe vença o set)”, a resposta é
.
Como a formulação diz “qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?”, a interpretação natural e informativa é a segunda (quantos pontos a outra equipe deve conseguir para encerrar o set vencendo). Logo a resposta relevante é
.
Resposta
26