Em uma partida de vôlei, apenas um time pontua por vez, e cada set comum é definido quando uma equipe alcança 25 pontos, com uma diferença de 2 pontos em relação à equipe adversária.
Fixando a pontuação de uma das equipes como 24, qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: uma das equipes tem pontuação igual a 24.
A pergunta é: qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?
Passo 1 — lista do que temos e do que é pedido:
  • Dado: uma equipe com 24 pontos.
  • Pedido: mínimo de pontos (total da outra equipe) necessário para que o set seja encerrado.

Passo 2

Regra do vôlei (essencial para o raciocínio): um set comum termina quando uma equipe alcança pelo menos 25 pontos e tem vantagem de pelo menos 2 pontos sobre a adversária.
Vou escrever essa condição de forma direta:
\text{o set termina se e só se } p_{\text{vencedor}}\ge 25 \text{ e } p_{\text{vencedor}}-p_{\text{perdedor}}\ge 2.ó
Aqui p_{\text{vencedor}} é a pontuação da equipe que ganha o set e p_{\text{perdedor}} a da outra equipe.

Passo 3

Nomeando as equipes: chamo de A a equipe que está com 24 pontos (fixada pelo enunciado) e de B a outra equipe, cuja pontuação final vou chamar de x. Queremos o menor x inteiro não-negativo tal que o set possa terminar sob as regras acima.
Existem duas possibilidades para quem vence o set:
  • Caso 1: A vence o set.
  • Caso 2: B vence o set.
Vou examinar ambas para ver qual produz o menor x.

Passo 4

Caso 1 — A (a que tem 24) vence:
Para A vencer, no final A deve ter p_A\ge 25 e p_A-p_B\ge 2. Se A já tem 24, pode marcar um ponto e ficar com 25. Para que ao ficar 25 a vantagem seja de pelo menos 2, o adversário B deve ter no máximo 23. Portanto, é possível terminar com p_B\le 23. Assim, nesta situação o valor de x=p_B pode ser tão pequeno quanto 0, 1, 2,\dots até 23. Isso mostra que se A vence imediatamente, o valor de x pode ser até 23.
No entanto, a pergunta pede o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine — o problema costuma interpretar “a outra equipe” como a equipe que tenta encerrar o set (i.e., vencer o set). Por isso precisamos também analisar o caso em que B é a vencedora, pois aí a outra equipe (B) precisa fazer um certo número mínimo de pontos para que o set termine com ela vencendo.

Passo 5

Caso 2 — B (a “outra equipe”) vence:
Para B vencer, deve valer
p_B\ge 25 \quad\text{e}\quad p_B-p_A\ge 2.
Sabendo que p_A=24, a segunda condição exige
p_B-24\ge 2 \quad\Rightarrow\quad p_B\ge 26.
Portanto, se a intenção é que B seja a equipe que faz pontos suficientes para que o set termine (ou seja, B vence o set), o menor valor possível de x=p_B que satisfaz as regras é 26. Se p_B=25 então p_B-p_A=25-24=1, insuficiente, o jogo continuaria.

Passo 6

Interpretação final: existem duas leituras do enunciado:
  • Se a interpretação for “qual o menor total que a outra equipe pode ter no resultado final quando o set terminar (sem especificar qual vence)”, então esse menor total possível é 0 (ou qualquer número até 23) — porque a equipe com 24 pode ganhar logo e o adversário então teria no máximo 23. Mas essa resposta é trivial e geralmente não é o que se busca.
  • Se a interpretação for “qual o menor total que a outra equipe precisa alcançar para que ela própria faça o set terminar (isto é, para que a outra equipe vença o set)”, a resposta é 26.
Como a formulação diz “qual o número mínimo de pontos que a outra equipe precisa fazer para que o set termine?”, a interpretação natural e informativa é a segunda (quantos pontos a outra equipe deve conseguir para encerrar o set vencendo). Logo a resposta relevante é 26.

Resposta

26

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