Um comerciante decidiu incrementar suas vendas promovendo um desconto fictício. Quantos por cento ele deverá elevar o preço de uma mercadoria, para que, ao conceder um desconto de 28%, ele não tenha nenhuma alteração em seu lucro original?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos por cento o comerciante deve elevar o preço de uma mercadoria de modo que, após conceder um desconto de
, o lucro (ou seja, o preço final recebido) permaneça exatamente igual ao lucro original.\n
Informações dadas e o que devemos igualar:\n
Informações dadas e o que devemos igualar:\n
- O desconto que será concedido é de
.\n - Queremos que o preço final, depois do aumento e do desconto, seja igual ao preço original da mercadoria.\n
- Precisamos determinar a taxa de aumento (em porcentagem) que garante isso. Não há outros dados numéricos (como preço em reais), então usaremos uma representação algébrica com preço genérico.
Passo 2
Definimos variáveis para modelar o problema de forma simples e clara.\n
Seja o preço original da mercadoria. Essa é uma escolha comum porque qualquer preço funciona; no final a resposta em porcentagem não depende de
.\n
Seja a taxa de aumento desejada, expressa em forma decimal. Exemplos para interpretar
:\n
Seja
Seja
- Se
significa aumento de .\n - Se
significa aumento de .\n
Importante: quando falamos de aumentar ou descontar porcentagens, trabalhamos com fatores multiplicativos. Vou explicar isso no próximo passo.
Passo 3
Explicação didática sobre fatores multiplicativos de porcentagem (a ideia chave).\n
- Um aumento de
corresponde a multiplicar o preço por (onde está em forma decimal). Por exemplo, aumento de é multiplicar por .\n - Um desconto de
corresponde a multiplicar o preço por (onde está em forma decimal). Por exemplo, desconto de é multiplicar por .\n
No nosso problema:\n - O fator de aumento será
.\n - O fator de desconto é
.\n
Calculemos o fator de desconto explicitamente em forma decimal.
Passo 4
Cálculo do fator de desconto.\n
O desconto é . Portanto o fator multiplicativo após o desconto é
O desconto é
Isso significa que, após aplicar o desconto, o preço é
do preço antes do desconto.
Passo 5
Montando a equação que impõe que o preço final seja igual ao original.\n
Começamos com preço . Primeiro aplicamos o aumento: o novo preço vira
. Em seguida aplicamos o desconto de
: multiplicamos por
. Queremos que o preço resultante volte a ser
. Assim a equação é
Começamos com preço
Agora vamos resolver essa equação para
. Primeiro dividimos ambos os lados por
(assumindo
, o que é óbvio para um preço):
Passo 6
Resolver a equação para
passo a passo.\n
Isolando temos
Isolando
Agora calculamos a fração. Convertendo para fração comum:
Portanto
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Converter
para porcentagem e interpretar o resultado. Fazer uma checagem numérica.\n
A taxa em porcentagem é
. Assim
A taxa
Escrevendo em número misto:
Checagem rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança (usando
por simplicidade):\n
- Aumentando
em obtemos
- Aplicando desconto de
(multiplicando por ) obtemos
Portanto o resultado está correto: o preço volta ao original.