Um comerciante decidiu incrementar suas vendas promovendo um desconto fictício. Quantos por cento ele deverá elevar o preço de uma mercadoria, para que, ao conceder um desconto de 28%, ele não tenha nenhuma alteração em seu lucro original?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos por cento o comerciante deve elevar o preço de uma mercadoria de modo que, após conceder um desconto de 28\%, o lucro (ou seja, o preço final recebido) permaneça exatamente igual ao lucro original.\n
Informações dadas e o que devemos igualar:\n
  • O desconto que será concedido é de 28\%.\n
  • Queremos que o preço final, depois do aumento e do desconto, seja igual ao preço original da mercadoria.\n
  • Precisamos determinar a taxa de aumento (em porcentagem) que garante isso. Não há outros dados numéricos (como preço em reais), então usaremos uma representação algébrica com preço genérico.

Passo 2

Definimos variáveis para modelar o problema de forma simples e clara.\n
Seja P o preço original da mercadoria. Essa é uma escolha comum porque qualquer preço funciona; no final a resposta em porcentagem não depende de P.\n
Seja r a taxa de aumento desejada, expressa em forma decimal. Exemplos para interpretar r:\n
  • Se r=0,10 significa aumento de 10\%.\n
  • Se r=0,50 significa aumento de 50\%.\n
    Importante: quando falamos de aumentar ou descontar porcentagens, trabalhamos com fatores multiplicativos. Vou explicar isso no próximo passo.

Passo 3

Explicação didática sobre fatores multiplicativos de porcentagem (a ideia chave).\n
  • Um aumento de x\% corresponde a multiplicar o preço por 1+x (onde x está em forma decimal). Por exemplo, aumento de 10\% é multiplicar por 1,10.\n
  • Um desconto de y\% corresponde a multiplicar o preço por 1-y (onde y está em forma decimal). Por exemplo, desconto de 28\% é multiplicar por 1-0,28.\n
    No nosso problema:\n
  • O fator de aumento será 1+r.\n
  • O fator de desconto é 1-0,28.\n
    Calculemos o fator de desconto explicitamente em forma decimal.

Passo 4

Cálculo do fator de desconto.\n
O desconto é 28\%. Portanto o fator multiplicativo após o desconto é
1-0,28 = 0,72.
Isso significa que, após aplicar o desconto, o preço é 72\% do preço antes do desconto.

Passo 5

Montando a equação que impõe que o preço final seja igual ao original.\n
Começamos com preço P. Primeiro aplicamos o aumento: o novo preço vira P(1+r). Em seguida aplicamos o desconto de 28\%: multiplicamos por 0,72. Queremos que o preço resultante volte a ser P. Assim a equação é
P(1+r)\cdot 0,72 = P.
Agora vamos resolver essa equação para r. Primeiro dividimos ambos os lados por P (assumindo P\neq 0, o que é óbvio para um preço):
(1+r)\cdot 0,72 = 1.

Passo 6

Resolver a equação para r passo a passo.\n
Isolando 1+r temos
1+r = \frac{1}{0,72}.
Agora calculamos a fração. Convertendo para fração comum:
\frac{1}{0,72} = \frac{100}{72} = \frac{25}{18}.
Portanto
1+r = \frac{25}{18}.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
r = \frac{25}{18} - 1 = \frac{25-18}{18} = \frac{7}{18}.

Passo 7

Converter r para porcentagem e interpretar o resultado. Fazer uma checagem numérica.\n
A taxa r em porcentagem é r\cdot 100\%. Assim
r\cdot 100\% = \frac{7}{18}\cdot 100\% = \frac{700}{18}\% = \frac{350}{9}\%.
Escrevendo em número misto:
\frac{350}{9}\% = 38\frac{8}{9}\%.
Checagem rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança (usando P=100 por simplicidade):\n
  • Aumentando 100 em 38\frac{8}{9}\% obtemos
100\cdot\left(1+\frac{7}{18}\right) = 100\cdot\frac{25}{18} = 138,888\ldots
  • Aplicando desconto de 28\% (multiplicando por 0,72) obtemos
138,888\ldots \cdot 0,72 = 100.
Portanto o resultado está correto: o preço volta ao original.

Resposta

38\frac{8}{9}\%

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