Questão 2.
(10 P.) Considere o problema
(a) Verifique que para todo
, a função
satisfaz todas as condições do problema acima, exceto a condição sobre a velocidade inicial.
(b) Utilize o resultado em (a) para obter a solução do problema acima.
(b) Utilize o resultado em (a) para obter a solução do problema acima.
Passo 1
O enunciado dá o problema de ondas
As perguntas são:
(a) verificar que, para todo , a função
satisfaz todas as condições do problema, exceto a condição sobre a velocidade inicial;
(b) usar (a) para obter a solução do problema dado.
(a) verificar que, para todo
(b) usar (a) para obter a solução do problema dado.
As informações relevantes fornecidas são:
- velocidade de propagação
tal que , logo ; - condições de contorno homogêneas de Dirichlet em
e ; - deslocamento inicial nulo e velocidade inicial dada por
.
Passo 2
Verificação direta do item (a): calcular derivadas temporais e espaciais de
. Primeiro a derivada temporal:
e a segunda derivada temporal:
Agora a segunda derivada espacial:
Substituindo na equação de ondas
obtemos
que é uma identidade verdadeira. Logo
satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Verificação das condições de contorno e iniciais (parte restante de (a)). Pelas propriedades do seno:
portanto as condições de contorno são satisfeitas. Para
temos
portanto o deslocamento inicial é zero, conforme exigido. Entretanto a velocidade inicial é
que, em geral, não coincide com
. Assim concluímos que
satisfaz tudo exceto, em geral, a condição de velocidade inicial. Isso prova (a).
Passo 4
Ideia para (b): por linearidade do problema (equação homogênea e BC homogêneas), combinações lineares de soluções são soluções. Logo procuramos solução da forma
A velocidade inicial correspondente é
Queremos que isso seja igual a
. Ou seja, devemos ter (no sentido de séries de Fourier seno)
Isso significa que os coeficientes
são os coeficientes da série seno de
. Em geral, os coeficientes da série seno de uma função
em
são dados por
porque as funções
são ortogonais com norma
.
Passo 5
Como
já está escrita como combinação de senos, identificamos diretamente seus coeficientes na base
:
onde
,
e
para
. Portanto devemos ter
Em particular,
e todos os outros
são zero.
Passo 6
Escrevendo a solução com esses coeficientes obtemos apenas os termos
e
:
Verificação rápida das condições iniciais: em
ambos os senos temporais são zero, logo
. Para a velocidade inicial:
que coincide com a dada. Pela verificação do passo 2 e linearidade,
satisfaz a equação de ondas e as condições de contorno. Portanto é a solução buscada.