Questão 2.

(10 P.) Considere o problema
\begin{aligned} \partial_{t}^{2} u & =36 \partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<\pi, t>0 ; \\\ u(0, t) & =0, \quad u(\pi, t)=0, t>0 ; \\\ u(x, 0) & =0, \quad \partial_{t} u(x, 0)=5 \operatorname{sen}(2 x)-2 \operatorname{sen}(5 x), \quad 0 \leq x \leq \pi . \end{aligned}
(a) Verifique que para todo n \in \mathbb{N}, a função u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}(6 n t) \operatorname{sen}(n x) satisfaz todas as condições do problema acima, exceto a condição sobre a velocidade inicial.
(b) Utilize o resultado em (a) para obter a solução do problema acima.

Passo 1

O enunciado dá o problema de ondas
\begin{aligned} \partial_{t}^{2}u &= 36\,\partial_{x}^{2}u,\quad 0<x<\pi,\\ t>0;\\\ u(0,t)&=0,\quad u(\pi,t)=0,\\ t>0;\\\ u(x,0)&=0,\quad \partial_{t}u(x,0)=5\sin(2x)-2\sin(5x),\quad 0\le x\le\pi. \end{aligned}
As perguntas são:
(a) verificar que, para todo n\in\mathbb{N}, a função u_n(x,t)=\sin(6n t)\sin(nx) satisfaz todas as condições do problema, exceto a condição sobre a velocidade inicial;
(b) usar (a) para obter a solução do problema dado.
As informações relevantes fornecidas são:
  • velocidade de propagação c tal que c^2=36, logo c=6;
  • condições de contorno homogêneas de Dirichlet em x=0 e x=\pi;
  • deslocamento inicial nulo e velocidade inicial dada por g(x)=5\sin(2x)-2\sin(5x).

Passo 2

Verificação direta do item (a): calcular derivadas temporais e espaciais de u_n. Primeiro a derivada temporal:
\partial_t u_n(x,t)=6n\cos(6n t)\sin(nx),
e a segunda derivada temporal:
\partial_t^2 u_n(x,t)=-36n^2\sin(6n t)\sin(nx)=-36n^2 u_n(x,t).
Agora a segunda derivada espacial:
\partial_x^2 u_n(x,t)=-n^2\sin(6n t)\sin(nx)=-n^2 u_n(x,t).
Substituindo na equação de ondas \partial_t^2 u=36\partial_x^2 u obtemos
-36n^2 u_n = 36(-n^2 u_n),
que é uma identidade verdadeira. Logo u_n satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Verificação das condições de contorno e iniciais (parte restante de (a)). Pelas propriedades do seno:
u_n(0,t)=\sin(6n t)\sin(0)=0,\qquad u_n(\pi,t)=\sin(6n t)\sin(n\pi)=0,
portanto as condições de contorno são satisfeitas. Para t=0 temos
u_n(x,0)=\sin(0)\sin(nx)=0,
portanto o deslocamento inicial é zero, conforme exigido. Entretanto a velocidade inicial é
\partial_t u_n(x,0)=6n\cos(0)\sin(nx)=6n\sin(nx),
que, em geral, não coincide com 5\sin(2x)-2\sin(5x). Assim concluímos que u_n satisfaz tudo exceto, em geral, a condição de velocidade inicial. Isso prova (a).

Passo 4

Ideia para (b): por linearidade do problema (equação homogênea e BC homogêneas), combinações lineares de soluções são soluções. Logo procuramos solução da forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \,u_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(6n t)\sin(nx).
A velocidade inicial correspondente é
\partial_t u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot 6n \sin(nx).
Queremos que isso seja igual a g(x)=5\sin(2x)-2\sin(5x). Ou seja, devemos ter (no sentido de séries de Fourier seno)
\sum_{n=1}^{\infty} (6n a_n)\sin(nx)=g(x).
Isso significa que os coeficientes 6n a_n são os coeficientes da série seno de g. Em geral, os coeficientes da série seno de uma função g em [0,\pi] são dados por
g_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi g(x)\sin(nx)\,dx,
porque as funções \{\sin(nx)\} são ortogonais com norma \int_0^\pi \sin^2(nx)\,dx=\pi/2.

Passo 5

Como g(x) já está escrita como combinação de senos, identificamos diretamente seus coeficientes na base \{\sin(nx)\}:
g(x)=5\sin(2x)-2\sin(5x)=\sum_{n=1}^\infty g_n\sin(nx),
onde g_2=5, g_5=-2 e g_n=0 para n\neq 2,5. Portanto devemos ter
6n a_n = g_n \quad\Rightarrow\quad a_n=\frac{g_n}{6n}.
Em particular,
a_2=\frac{5}{6\cdot 2}=\frac{5}{12},\qquad a_5=\frac{-2}{6\cdot 5}=-\frac{1}{15},
e todos os outros a_n são zero.

Passo 6

Escrevendo a solução com esses coeficientes obtemos apenas os termos n=2 e n=5:
u(x,t)=\frac{5}{12}\sin(12 t)\sin(2x)-\frac{1}{15}\sin(30 t)\sin(5x).
Verificação rápida das condições iniciais: em t=0 ambos os senos temporais são zero, logo u(x,0)=0. Para a velocidade inicial:
\partial_t u(x,0)=\frac{5}{12}\cdot 12\sin(2x)-\frac{1}{15}\cdot 30\sin(5x)=5\sin(2x)-2\sin(5x),
que coincide com a dada. Pela verificação do passo 2 e linearidade, u satisfaz a equação de ondas e as condições de contorno. Portanto é a solução buscada.

Resposta

u(x,t)=\frac{5}{12}\sin(12 t)\sin(2x)-\frac{1}{15}\sin(30 t)\sin(5x).

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