Questão 1.
(19 P.) Considere o problema
(a) Determine sua solução usando o método de separação de variáveis. Aqui você pode usar que
(b) Explique uma possível interpretação física desse problema.
(c) Verifique que
para todo
.
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) determinar a solução do problema de contorno
usando separação de variáveis; (b) explicar uma interpretação física possível; (c) verificar que
para todo
.
Informações relevantes dadas:
- A equação é a equação de Laplace (função harmônica) num retângulo unitário.
- As condições de contorno nas bordas verticais são homogêneas:
. - As condições em
e são dadas por funções envolvendo . - O enunciado fornece a expansão em série de Fourier seno (na direção
) da função :
Observação útil (a partir das condições):
, ou seja, a condição de contorno inferior é o negativo da condição superior.
Passo 2
Ideia do método de separação (passo didático): procuramos soluções do tipo
. Substituindo na equação
dá
Explicação do que fizemos: ao dividir por
separamos variáveis; como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, ambos devem ser iguais a uma constante
. O sinal foi escolhido
por convenção para obter soluções trigonométricas em
compatíveis com as condições
.
Com as condições nas paredes verticais homogêneas
temos
. Esse é um problema de autovalores padrão (Sturm–Liouville) em
com soluções não-triviais apenas para
e autovetores (autofunções)
Explicação: resolver
com
dá exatamente
e
acima. Essas funções são ortogonais em
e formam base para expandir funções que se anulam em
.
Por linearidade da equação de Laplace, a solução geral (série de modos) é
onde cada
satisfaz uma ODE independente obtida ao substituir cada modo na PDE.
Passo 3
Equação para os coeficientes
: substituindo o modo na equação obtemos
logo
Essa é uma ODE linear de coeficientes constantes; a solução geral é
com constantes
a serem determinadas pelas condições em
e
.
Agora impomos as condições de contorno em
. Denotemos
Expandindo
em senos segundo a série fornecida, escrevemos
Como
temos a expansão de
com coeficientes
.
As condições em
implicam para cada
Podemos resolver o sistema para
, mas existe uma forma mais elegante: observar que queremos uma combinação que dê em
o coeficiente
e em
. A função hiperbólica
é anti-simétrica em torno de
e satisfaz
Assim a escolha
satisfaz automaticamente
e
. Para checar: em
obtemos
, e em
obtemos
. Portanto essa é a forma correta de
. (Se preferir, dá para resolver explicitamente o sistema para
e obter o mesmo resultado.)
Passo 4
Escrevendo a solução completa juntando modos:
onde
Podemos então escrever explicitamente
Comentário sobre convergência e unicidade: por teoria clássica de Laplace com contorno contínuo e condições de Dirichlet, a solução é única e a série de modos converge adequadamente ao interior (e às condições de contorno em sentido apropriado).
Passo 5
Interpretação física (didática e intuitiva): uma interpretação padrão é como temperatura em regime estacionário numa chapa retangular
. A equação de Laplace
corresponde ao estado estacionário (sem fontes internas). As condições
significam que as laterais esquerda e direita são mantidas a temperatura zero (por exemplo, aterradas). As bordas
e
têm temperaturas prescritas: a borda superior tem temperatura
e a borda inferior tem exatamente a temperatura oposta
. Assim a placa recebe temperaturas opostas em cima e embaixo; o campo
descreve a distribuição de temperatura no interior em equilíbrio.
Observação física adicional: como as temperaturas superior e inferior são negativas uma da outra, espera-se uma superfície nodal (linha isoterma de temperatura zero) no meio, e isso é confirmado no item (c).
Passo 6
Verificação de que
: substituir
na expressão encontrada dá
Como
, cada termo da soma é zero, logo
Interpretação: a solução é ímpar (antissimétrica) em torno da linha
porque as condições na borda superior e inferior são opostas, portanto a isoterma zero no meio era esperada.
Resposta
(a)
(b) Interpretação física: distribuição de temperatura em regime estacionário numa placa retangular com as laterais em temperatura zero e as bordas superior/inferior mantidas em temperaturas iguais e de sinais opostos e
.
(c) para todo
.
(b) Interpretação física: distribuição de temperatura em regime estacionário numa placa retangular com as laterais em temperatura zero e as bordas superior/inferior mantidas em temperaturas iguais e de sinais opostos
(c)