Questão 1.

(19 P.) Considere o problema
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0, \quad 0<x<1,0<y<1 ; \\\ & u(x, 0)=(x-1) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right), u(x, \pi)=(1-x) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right), \quad 0 \leq x \leq 1 ; \\\ & u(0, y)=0, u(1, y)=0, \quad 0 \leq y \leq 1 . \end{aligned}
(a) Determine sua solução usando o método de separação de variáveis. Aqui você pode usar que
(1-x) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} x\right)=\frac{32}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\left(4 n^{2}-1\right)^{2}} \operatorname{sen}(n \pi x), \quad 0 \leq x \leq 1 .
(b) Explique uma possível interpretação física desse problema.
(c) Verifique que u\left(x, \frac{1}{2}\right)=0 para todo x \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) determinar a solução do problema de contorno
\begin{aligned} & \partial_{x}^{2} u+\partial_{y}^{2} u=0, \quad 0<x<1,\;0<y<1;\\\ & u(x,0)=(x-1)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x\right),\quad u(x,1)=(1-x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x\right),\quad 0\le x\le1;\\\ & u(0,y)=0,\quad u(1,y)=0,\quad 0\le y\le1, \end{aligned}
usando separação de variáveis; (b) explicar uma interpretação física possível; (c) verificar que u\!\left(x,\tfrac{1}{2}\right)=0 para todo x\in[0,1].
Informações relevantes dadas:
  • A equação é a equação de Laplace (função harmônica) num retângulo unitário.
  • As condições de contorno nas bordas verticais são homogêneas: u(0,y)=u(1,y)=0.
  • As condições em y=0 e y=1 são dadas por funções envolvendo \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}x).
  • O enunciado fornece a expansão em série de Fourier seno (na direção x) da função (1-x)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right):
(1-x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\operatorname{sen}(n\pi x),\quad 0\le x\le1.
Observação útil (a partir das condições): u(x,0)=(x-1)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)=-\,(1-x)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right), ou seja, a condição de contorno inferior é o negativo da condição superior.

Passo 2

Ideia do método de separação (passo didático): procuramos soluções do tipo \,u(x,y)=X(x)\,Y(y). Substituindo na equação \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0\quad\Rightarrow\quad\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\text{constante}=-\lambda.
Explicação do que fizemos: ao dividir por X(x)Y(y) separamos variáveis; como o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y, ambos devem ser iguais a uma constante -\lambda. O sinal foi escolhido -\lambda por convenção para obter soluções trigonométricas em x compatíveis com as condições X(0)=X(1)=0.
Com as condições nas paredes verticais homogêneas u(0,y)=u(1,y)=0 temos X(0)=X(1)=0. Esse é um problema de autovalores padrão (Sturm–Liouville) em [0,1] com soluções não-triviais apenas para
\lambda=(n\pi)^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
e autovetores (autofunções)
X_{n}(x)=\sin(n\pi x).
Explicação: resolver X''+\lambda X=0 com X(0)=X(1)=0 dá exatamente \lambda=(n\pi)^2 e X_n acima. Essas funções são ortogonais em [0,1] e formam base para expandir funções que se anulam em x=0,1.
Por linearidade da equação de Laplace, a solução geral (série de modos) é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(y)\sin(n\pi x),
onde cada A_{n}(y) satisfaz uma ODE independente obtida ao substituir cada modo na PDE.

Passo 3

Equação para os coeficientes A_{n}(y): substituindo o modo na equação obtemos
\sin(n\pi x)\bigl(A_{n}''(y)-(n\pi)^{2}A_{n}(y)\bigr)=0,
logo
A_{n}''(y)-(n\pi)^{2}A_{n}(y)=0.
Essa é uma ODE linear de coeficientes constantes; a solução geral é
A_{n}(y)=\alpha_{n}\operatorname{sinh}(n\pi y)+\beta_{n}\operatorname{cosh}(n\pi y),
com constantes \alpha_{n},\beta_{n} a serem determinadas pelas condições em y=0 e y=1.
Agora impomos as condições de contorno em y. Denotemos
f_{0}(x)=u(x,0)=(x-1)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)=-\,f_{1}(x),\qquad f_{1}(x)=u(x,1)=(1-x)\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}x\right).
Expandindo f_{1} em senos segundo a série fornecida, escrevemos
f_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(n\pi x),\qquad\text{com}\qquad b_{n}=\frac{32}{\pi^{2}}\cdot\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}.
Como f_{0}=-f_{1} temos a expansão de f_{0} com coeficientes -b_{n}.
As condições em y implicam para cada n
A_{n}(0)=\beta_{n}=-b_{n},\qquad A_{n}(1)=\alpha_{n}\operatorname{sinh}(n\pi)+\beta_{n}\operatorname{cosh}(n\pi)=b_{n}.
Podemos resolver o sistema para \alpha_{n},\beta_{n}, mas existe uma forma mais elegante: observar que queremos uma combinação que dê em y=1 o coeficiente b_n e em y=0 -b_n. A função hiperbólica \operatorname{sinh}(n\pi(y-\tfrac12)) é anti-simétrica em torno de y=\tfrac12 e satisfaz
\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi(1-\tfrac12)\bigr)=\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr),\qquad \operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi(0-\tfrac12)\bigr)=-\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr).
Assim a escolha
A_{n}(y)=\frac{b_{n}}{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr)}\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi\bigl(y-\tfrac12\bigr)\bigr)
satisfaz automaticamente A_{n}(1)=b_{n} e A_{n}(0)=-b_{n}. Para checar: em y=1 obtemos A_{n}(1)=b_{n}\frac{\operatorname{sinh}(n\pi/2)}{\operatorname{sinh}(n\pi/2)}=b_{n}, e em y=0 obtemos A_{n}(0)=b_{n}\frac{-\operatorname{sinh}(n\pi/2)}{\operatorname{sinh}(n\pi/2)}=-b_{n}. Portanto essa é a forma correta de A_n(y). (Se preferir, dá para resolver explicitamente o sistema para \alpha_n,\beta_n e obter o mesmo resultado.)

Passo 4

Escrevendo a solução completa juntando modos:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr)}\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi\bigl(y-\tfrac12\bigr)\bigr)\right)\sin(n\pi x),
onde
b_{n}=\frac{32}{\pi^{2}}\cdot\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}.
Podemos então escrever explicitamente
\boxed{\,u(x,y)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi\,(y-\tfrac12)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr)}\;\sin(n\pi x)\,.}
Comentário sobre convergência e unicidade: por teoria clássica de Laplace com contorno contínuo e condições de Dirichlet, a solução é única e a série de modos converge adequadamente ao interior (e às condições de contorno em sentido apropriado).

Passo 5

Interpretação física (didática e intuitiva): uma interpretação padrão é como temperatura em regime estacionário numa chapa retangular 0\le x\le1,\;0\le y\le1. A equação de Laplace \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0 corresponde ao estado estacionário (sem fontes internas). As condições u(0,y)=u(1,y)=0 significam que as laterais esquerda e direita são mantidas a temperatura zero (por exemplo, aterradas). As bordas y=0 e y=1 têm temperaturas prescritas: a borda superior tem temperatura u(x,1)=(1-x)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) e a borda inferior tem exatamente a temperatura oposta u(x,0)=(x-1)\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right)=-u(x,1). Assim a placa recebe temperaturas opostas em cima e embaixo; o campo u(x,y) descreve a distribuição de temperatura no interior em equilíbrio.
Observação física adicional: como as temperaturas superior e inferior são negativas uma da outra, espera-se uma superfície nodal (linha isoterma de temperatura zero) no meio, e isso é confirmado no item (c).

Passo 6

Verificação de que u\!\left(x,\tfrac12\right)=0: substituir y=\tfrac12 na expressão encontrada dá
u\!\left(x,\tfrac12\right)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi(\tfrac12-\tfrac12)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr)}\sin(n\pi x).
Como \operatorname{sinh}(0)=0, cada termo da soma é zero, logo
u\!\left(x,\tfrac12\right)=0\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Interpretação: a solução é ímpar (antissimétrica) em torno da linha y=\tfrac12 porque as condições na borda superior e inferior são opostas, portanto a isoterma zero no meio era esperada.

Resposta

(a) \displaystyle u(x,y)=\frac{32}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(4n^{2}-1)^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi\,(y-\tfrac12)\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(n\pi/2\bigr)}\;\sin(n\pi x).
(b) Interpretação física: distribuição de temperatura em regime estacionário numa placa retangular com as laterais em temperatura zero e as bordas superior/inferior mantidas em temperaturas iguais e de sinais opostos u(x,1)=(1-x)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) e u(x,0)=-(1-x)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr).
(c) \displaystyle u\!\left(x,\tfrac12\right)=0 para todo x\in[0,1].

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