Um comerciante deseja criar um controle de vendas de um determinado produto. De um levantamento de doze semanas foram obtidos os valores das unidades vendidas do produto, os quais estão apresentados a seguir:
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
\mathrm{~N}^{\circ} de produtos 5 4 7 8 3 4 2 7 9 7 6 18

Pede-se:

a) Classifique a variável “número de produtos”.
b) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão e os quartis do número de produtos para o período em questão.
c) Note que na semana 12 ocorreu um valor atípico. Remova essa semana e refaça o item anterior. Comente o efeito da remoção do valor atípico nas medidas calculadas.

Passo 1

O enunciado dá as vendas semanais (número de unidades vendidas) em 12 semanas:
5,\;4,\;7,\;8,\;3,\;4,\;2,\;7,\;9,\;7,\;6,\;18.
As perguntas são:
a) Classificar a variável “número de produtos”.
b) Calcular a média, a mediana, o desvio padrão e os quartis para o período (todas as 12 semanas).
c) Remover o valor atípico da semana 12 (valor 18), refazer os cálculos do item (b) e comentar o efeito da remoção sobre as medidas.

Passo 2

Classificação da variável (resposta do item a). Vou explicar de forma simples e prática: a variável é o número de unidades vendidas em cada semana. Isso significa:
  • É uma variável quantitativa (porque mede “quantidade”).
  • É uma variável discreta (só assume valores inteiros: 0,1,2,\dots).
  • É medida numa escala de razão (ratio), pois existe um zero significativo e relações de razão fazem sentido (por exemplo, vender 8 unidades é o dobro de 4).
Resposta objetiva: variável quantitativa discreta, escala de razão.

Passo 3

Organização dos dados e preparação para cálculos. Primeiro ordeno os dados (útil para mediana e quartis):
2,\;3,\;4,\;4,\;5,\;6,\;7,\;7,\;7,\;8,\;9,\;18.
Aqui n=12. Vou calcular as medidas pedidas usando fórmulas padrão.

Passo 4

Média — definição e cálculo.
Fórmula da média (aritmética):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores observados e n é o número de observações. Aqui n=12. Calculo a soma:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 2+3+4+4+5+6+7+7+7+8+9+18 = 80.
Então
\bar{x}=\frac{80}{12}=\frac{20}{3}=6,666\ldots
ou seja \bar{x}=6,6\overline{6}. Interpretação prática: a média semanal de vendas no período foi cerca de 6{,}67 unidades.

Passo 5

Mediana — definição e cálculo.
A mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades iguais. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Aqui n=12 (par), os dois valores centrais são o 6^\text{o} e o 7^\text{o} elemento na ordem crescente.
Da lista ordenada os elementos são:
\text{(1)}2,\;\text{(2)}3,\;\text{(3)}4,\;\text{(4)}4,\;\text{(5)}5,\;\text{(6)}6,\;\text{(7)}7,\;\text{(8)}7,\;\text{(9)}7,\;\text{(10)}8,\;\text{(11)}9,\;\text{(12)}18.
Os elementos centrais são 6 e 7. Logo
\text{mediana}=\frac{6+7}{2}=6,5.

Passo 6

Quartis — definição e cálculo.
Usarei o procedimento comum: para n par, dividir os n dados ordenados em duas metades iguais (primeira metade = menores n/2 valores; segunda metade = maiores n/2 valores) e calcular a mediana de cada metade. Essas medianas são Q_1 (quartil inferior) e Q_3 (quartil superior). Com a lista ordenada:
  • Metade inferior (primeiros 6 valores): 2,3,4,4,5,6. A mediana dessa metade é a média do 3^\text{o} e 4^\text{o}: (4+4)/2=4. Então Q_1=4.
  • Metade superior (últimos 6 valores): 7,7,7,8,9,18. A mediana dessa metade é a média do 3^\text{o} e 4^\text{o} dessa metade: (7+8)/2=7,5. Então Q_3=7,5.
Também podemos citar o intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=7{,}5-4=3{,}5.

Passo 7

Desvio padrão — escolha da fórmula e cálculo detalhado.
Explico dois conceitos rápidos antes de calcular: existe o desvio padrão populacional (usar divisão por n) e o desvio padrão amostral (usar divisão por n-1). Aqui temos os dados de todas as 12 semanas do levantamento — isto é, estamos tratando o conjunto como a população observada naquele período — então escolho o desvio padrão populacional, cujo uso é natural quando se descreve dispersion dos dados observados. Se estivesse fazendo inferência para uma população maior a partir desta amostra, usaríamos n-1.
Fórmula da variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
E o desvio padrão populacional é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Já calculamos \bar{x}=\dfrac{20}{3}. Vou calcular a soma dos quadrados dos desvios. Para organização, usei a lista ordenada; calculei cada (x_i-\bar{x})^2 em forma fracionária e somei. O resultado desta soma é
\sum_{i=1}^{12} (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1698}{9}.
Então a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{12}\cdot\frac{1698}{9}=\frac{1698}{108}=\frac{283}{18}\approx15{,}7222.
Portanto o desvio padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\frac{283}{18}}\approx3{,}965.
(Arredondei o desvio padrão para três casas decimais: \sigma\approx3{,}965.)
Observação rápida: se fosse o desvio amostral (dividindo por n-1=11), obteríamos s\approx4{,}142, um pouco maior. Isso confirma que o uso de n ou n-1 altera ligeiramente o valor; aqui justificamos usar n.

Passo 8

Remoção do valor atípico (semana 12 com 18 unidades) e reordenação.
Removendo o 18, os dados ordenados são:
2,\;3,\;4,\;4,\;5,\;6,\;7,\;7,\;7,\;8,\;9,
agora com n=11. Vou recalcular média, mediana, quartis e desvio padrão (populacional sobre essas 11 observações).

Passo 9

Média após remoção.
Soma sem o 18: 80-18=62. Assim
\bar{x}_{\text{(sem 18)}}=\frac{62}{11}=5,6363\ldots =5,6\overline{36}.

Passo 10

Mediana e quartis após remoção.
Com n=11 (ímpar) a mediana é o valor central, isto é, o 6^\text{o} valor ordenado. Pela lista, o 6^\text{o} é 6. Então a mediana passa a ser 6.
Para os quartis sigo o procedimento usual para n ímpar: exclui-se a mediana e calcula-se a mediana das metades inferiores e superiores.
  • Metade inferior (primeiros 5 valores): 2,3,4,4,5. Mediana = 4. Logo Q_1=4.
  • Metade superior (últimos 5 valores): 7,7,7,8,9. Mediana = 7. Logo Q_3=7.
IQR agora é
\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-4=3.

Passo 11

Desvio padrão após remoção (populacional sobre as 11 observações).
Usando a média \dfrac{62}{11} e somando os quadrados dos desvios obtive:
\sum_{i=1}^{11} (x_i-\bar{x}_{\text{(sem 18)}})^2 = \frac{5874}{121}.
A variância populacional com n=11 é
\sigma^2_{\text{(sem 18)}}=\frac{1}{11}\cdot\frac{5874}{121}=\frac{5874}{1331}\approx4{,}4140.
Logo o desvio padrão é
\sigma_{\text{(sem 18)}}=\sqrt{\frac{5874}{1331}}\approx2{,}101.

Passo 12

Comparação e interpretação do efeito da remoção do valor atípico (resposta do item c).
Resumo dos valores antes e depois (arredondados quando apropriado):
  • Média: antes \bar{x}=6{,}666\ldots; depois \bar{x}=5{,}636\ldots. A média caiu cerca de 1{,}03 unidade — o valor atípico 18 puxa a média para cima (a média é sensível a valores extremos).
  • Mediana: antes 6{,}5; depois 6. A mediana caiu 0{,}5. A mediana é mais resistente a outliers que a média (mudou menos).
  • Quartis: Q_1 permaneceu 4; Q_3 passou de 7{,}5 para 7. O IQR caiu de 3{,}5 para 3. Ou seja, o outlier afetou principalmente Q_3 e aumentou a dispersão medida pelo IQR.
  • Desvio padrão: antes \sigma\approx3{,}965; depois \sigma\approx2{,}101. Houve queda grande na medida de dispersão — o outlier aumentou fortemente o desvio padrão, porque este usa quadrados dos desvios e penaliza muito observações distantes da média.
Interpretação curta: o valor atípico ( 18) inflou a média, o terceiro quartil e, especialmente, o desvio padrão. Medidas de posição robustas como mediana e Q_1 foram menos afetadas. Em termos práticos, se o objetivo do comerciante é ter uma ideia típica de vendas semanais, a mediana e os quartis podem representar melhor a “semana típica” quando há outliers; se usar a média, é importante verificar e possivelmente justificar ou excluir outliers.

Resposta

a) Variável quantitativa discreta (escala de razão).
b) Com todas as 12 semanas:
Média: \bar{x}=\dfrac{80}{12}=6,\overline{6}
Mediana: 6,5
Quartis: Q_1=4, Q_2=6,5, Q_3=7,5 (IQR =3,5)
Desvio padrão (populacional): \sigma=\sqrt{\dfrac{283}{18}}\approx3,965
c) Removendo o valor 18 (ficam 11 semanas):
Média: \bar{x}=\dfrac{62}{11}\approx5,636
Mediana: 6
Quartis: Q_1=4, Q_2=6, Q_3=7 (IQR =3)
Desvio padrão (populacional): \sigma\approx2,101
Comentário resumido: a remoção do outlier diminuiu a média, diminuiu moderadamente a mediana, reduziu Q_3 e reduziu fortemente o desvio padrão — portanto o outlier inflava a média e a dispersão.

Exercícios relacionados