Os dados a seguir referem-se ao número de calorias e porcentagem de gordura, por porção de meia taça, para 17 tipos de sorvete de chocolate:
Calorias 270 150 170 140 160 150 160 290 170 190 190 160 170 150 150 110 180
Gordura 18 8 10 8 9 9 9 17 9 10 10 8 9 8 8 3 9
Determine o intervalo interquartílico.

Passo 1

O enunciado nos dá duas variáveis medidas em 17 tipos de sorvete (cada valor é por porção de meia taça) e pede para determinar o intervalo interquartílico (IQR) de cada uma delas.
Os dados fornecidos são:
Calorias:
270,\;150,\;170,\;140,\;160,\;150,\;160,\;290,\;170,\;190,\;190,\;160,\;170,\;150,\;150,\;110,\;180
Gordura (porcentagem):
18,\;8,\;10,\;8,\;9,\;9,\;9,\;17,\;9,\;10,\;10,\;8,\;9,\;8,\;8,\;3,\;9
O que exatamente é pedido:
  • Calcular o intervalo interquartílico para a variável “Calorias”.
  • Calcular o intervalo interquartílico para a variável “Gordura”.

Passo 2

O que é intervalo interquartílico (IQR) e como calcular — explicação didática e regra prática que usarei.
  • O intervalo interquartílico é definido por
\text{IQR} = Q_3 - Q_1,
onde Q_1 é o primeiro quartil (mediana da metade inferior dos dados) e Q_3 é o terceiro quartil (mediana da metade superior dos dados).
  • Regras práticas para conjuntos com número ímpar de observações n:
    • Ordenar os dados em ordem crescente.
    • A mediana é o elemento de posição \dfrac{n+1}{2}.
    • Para obter Q_1 e Q_3 quando n é ímpar, exclui-se a mediana e calcula-se a mediana da metade inferior (para Q_1) e da metade superior (para Q_3). Se cada metade tiver número par de elementos, a mediana dessa metade será a média dos dois valores centrais.
  • Vou aplicar exatamente esse procedimento aos dois conjuntos.
Vou também mostrar passo a passo como encontrar as posições e os valores, sem pular etapas.

Passo 3

Calorias — ordenar os dados em ordem crescente e indexar.
Ordenando:
110,\;140,\;150,\;150,\;150,\;150,\;160,\;160,\;160,\;170,\;170,\;170,\;180,\;190,\;190,\;270,\;290
n=17 observações. A posição da mediana é
\frac{n+1}{2}=\frac{17+1}{2}=9.
Portanto a mediana é o 9º valor da lista ordenada. O 9º valor é \,160.

Passo 4

Calorias — encontrar Q_1 e Q_3 a partir das metades.
  • Metade inferior (excluindo a mediana) são as posições 1 a 8:
110,\;140,\;150,\;150,\;150,\;150,\;160,\;160
Como essa metade tem 8 valores (par), a mediana dessa metade (que é Q_1) é a média dos valores nas posições 4 e 5 dessa metade. Esses valores são 150 e 150. Logo
Q_1 = \frac{150+150}{2}=150.
  • Metade superior (excluindo a mediana) são as posições 10 a 17:
170,\;170,\;170,\;180,\;190,\;190,\;270,\;290
Também há 8 valores; a mediana dessa metade (que é Q_3) é a média dos valores nas posições 4 e 5 dessa metade. Esses valores são 180 e 190. Logo
Q_3 = \frac{180+190}{2}=185.

Passo 5

Calorias — calcular o intervalo interquartílico:
\text{IQR}_{\text{Calorias}} = Q_3 - Q_1 = 185 - 150 = 35.
Interpretação prática rápida: a metade central dos valores de calorias (entre Q_1 e Q_3) tem amplitude de 35 calorias.

Passo 6

Gordura — ordenar os dados em ordem crescente e indexar.
Ordenando:
3,\;8,\;8,\;8,\;8,\;8,\;9,\;9,\;9,\;9,\;9,\;9,\;10,\;10,\;10,\;17,\;18
De novo n=17. A posição da mediana é
\frac{n+1}{2}=\frac{17+1}{2}=9.
Portanto a mediana é o 9º valor da lista ordenada. O 9º valor é \,9.

Passo 7

Gordura — encontrar Q_1 e Q_3.
  • Metade inferior (posições 1 a 8):
3,\;8,\;8,\;8,\;8,\;8,\;9,\;9
Tem 8 valores; Q_1 é a média dos valores 4º e 5º dessa metade: ambos são 8. Logo
Q_1 = \frac{8+8}{2}=8.
  • Metade superior (posições 10 a 17):
9,\;9,\;9,\;10,\;10,\;10,\;17,\;18
Tem 8 valores; Q_3 é a média dos valores 4º e 5º dessa metade: ambos são 10. Logo
Q_3 = \frac{10+10}{2}=10.

Passo 8

Gordura — calcular o intervalo interquartílico:
\text{IQR}_{\text{Gordura}} = Q_3 - Q_1 = 10 - 8 = 2.
Interpretação prática: a metade central das porcentagens de gordura varia por 2 pontos percentuais.

Resposta

Calorias: 35
Gordura: 2

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