Um hospital maternidade está planejando a ampliação dos leitos para recém-nascidos. Para tal, fez um levantamento dos últimos 50 nascimentos obtendo a informação sobre o número de dias que os bebês permanecem no hospital (Xi), antes de terem alta. Os dados são apresentados a seguir:
1
2
3
4
5
6
7
8
15
3
11
16
9
6
1
2
1
1
Calcule:
a) média, moda e mediana.
b) os quartis
c) variância e o desvio padrão
d) amplitude total
e) erro padrão da média
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 15 |
|
|
3 | 11 | 16 | 9 | 6 | 1 | 2 | 1 | 1 |
b) os quartis
c) variância e o desvio padrão
d) amplitude total
e) erro padrão da média
Passo 1
O enunciado fornece a contagem de dias de internação
e suas frequências
para
nascimentos. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados (peguei-os do enunciado):
Verifiquei que
.
O enunciado pede:
a) média, moda e mediana;
b) os quartis;
c) variância e desvio padrão;
d) amplitude total;
e) erro padrão da média.
a) média, moda e mediana;
b) os quartis;
c) variância e desvio padrão;
d) amplitude total;
e) erro padrão da média.
Passo 2
Vou calcular as somas necessárias para as estatísticas:
,
e
. Mostro as contas com as multiplicações para cada valor:
Esses são os números que vou usar nas fórmulas seguintes.]
Passo 3
Média: explicação e cálculo passo a passo.
- Definição: a média amostral
para dados com frequências é a soma dos valores multiplicados pelas suas frequências dividida pelo total de observações. A fórmula é
onde
.
- Aplicando os números que calculei:
Interpretação curta: em média os recém-nascidos ficaram
dias no hospital.
Passo 4
Moda: definição e identificação.
-
Definição: a moda é o valor de
que ocorre com maior frequência . Se houver empate, pode haver multimodalidade. -
Observando as frequências: o maior
é , correspondente a . Portanto
Passo 5
Mediana: definição, procedimento para frequência e cálculo.
-
Definição prática para dados ordenados: a mediana é o valor que divide a amostra em duas metades iguais. Como
é par, a mediana é a média do e do valores ordenados. -
Primeiro construo as frequências acumuladas para localizar as posições:
- Os
e valores estão nas posições 25 e 26, que, pela tabela acima, caem em (porque as posições 15 a 30 são todas ). Logo ambos os valores são , e a mediana é
Passo 6
Quartis: método escolhido, explicação e cálculo.
-
Método adotado (método simples e comum em cursos iniciais): como
é par, divide-se a série ordenada em duas metades com observações cada. O primeiro quartil é a mediana da metade inferior (posições a ); o terceiro quartil é a mediana da metade superior (posições a ). Assim: -
corresponde à posição da amostra total (mediana de 25 observações da metade inferior), -
corresponde à posição da amostra total.
-
-
Usando a tabela de posições do Passo 5:
- Posição
está em (posições 4 a 14). Portanto . - Posição
está em (posições 31 a 39). Portanto .
- Posição
-
O segundo quartil
é a mediana já calculada: mediana .
Resumo:
Opcional: amplitude interquartílica
.
Passo 7
Variância e desvio padrão: fórmulas, justificativa do método e cálculo detalhado.
- Escolha do método: como os dados são uma amostra (50 nascimentos observados) e usualmente deseja-se estimar a variabilidade da população a partir da amostra, uso a variância amostral não viciada com denominador
. A fórmula para dados com frequências é
Aqui
,
(veja Passo 2) e
.
- Calcular
:
- Numerador:
- Variância amostral:
- Desvio padrão amostral:
Interpretação: a variação típica (desvio padrão) do número de dias é cerca de
dias.
Passo 8
Amplitude total: definição simples e cálculo.
- Definição: amplitude (ou intervalo) total é a diferença entre o maior e o menor valor observados:
Isso significa que, no conjunto observado, os tempos variaram em um intervalo de
dias.
Passo 9
Erro padrão da média: fórmula, cálculo e significado.
- Fórmula: o erro padrão da média (standard error, SE) estima a precisão da média amostral e é dado por
onde
é o desvio padrão amostral e
o tamanho da amostra.
- Cálculo:
Interpretação curta: a incerteza típica na estimativa da média é cerca de
dias.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)