Um hospital maternidade está planejando a ampliação dos leitos para recém-nascidos. Para tal, fez um levantamento dos últimos 50 nascimentos obtendo a informação sobre o número de dias que os bebês permanecem no hospital (Xi), antes de terem alta. Os dados são apresentados a seguir:
\boldsymbol{X} \mathbf{i} 1 2 3 4 5 6 7 8 15
\boldsymbol{f} \boldsymbol{i} 3 11 16 9 6 1 2 1 1

Calcule:

a) média, moda e mediana.
b) os quartis
c) variância e o desvio padrão
d) amplitude total
e) erro padrão da média

Passo 1

O enunciado fornece a contagem de dias de internação X_i e suas frequências f_i para n=50 nascimentos. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
Dados (peguei-os do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccccc} X_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 15\\hline f_i & 3 & 11 & 16 & 9 & 6 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}
Verifiquei que \sum f_i = 50.
O enunciado pede:
a) média, moda e mediana;
b) os quartis;
c) variância e desvio padrão;
d) amplitude total;
e) erro padrão da média.

Passo 2

Vou calcular as somas necessárias para as estatísticas: \sum f_i, \sum x_i f_i e \sum x_i^2 f_i. Mostro as contas com as multiplicações para cada valor:
\begin{aligned} \sum f_i &= 3+11+16+9+6+1+2+1+1=50,\\[4pt] \sum x_i f_i &= 1\cdot3 + 2\cdot11 + 3\cdot16 + 4\cdot9 + 5\cdot6 + 6\cdot1 + 7\cdot2 + 8\cdot1 + 15\cdot1\\\ &=3+22+48+36+30+6+14+8+15=182,\\[4pt] \sum x_i^2 f_i &= 1^2\cdot3 + 2^2\cdot11 + 3^2\cdot16 + 4^2\cdot9 + 5^2\cdot6 + 6^2\cdot1 + 7^2\cdot2 + 8^2\cdot1 + 15^2\cdot1\\\ &=3+44+144+144+150+36+98+64+225=908. \end{aligned}
Esses são os números que vou usar nas fórmulas seguintes.]

Passo 3

Média: explicação e cálculo passo a passo.
  • Definição: a média amostral \bar{X} para dados com frequências é a soma dos valores multiplicados pelas suas frequências dividida pelo total de observações. A fórmula é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum x_i f_i,
onde n=\sum f_i.
  • Aplicando os números que calculei:
\bar{X}=\frac{1}{50}\cdot 182=\frac{182}{50}=3,64.
Interpretação curta: em média os recém-nascidos ficaram \,3,64 dias no hospital.

Passo 4

Moda: definição e identificação.
  • Definição: a moda é o valor de X que ocorre com maior frequência f_i. Se houver empate, pode haver multimodalidade.
  • Observando as frequências: o maior f_i é 16, correspondente a X=3. Portanto
\text{moda}=3.

Passo 5

Mediana: definição, procedimento para frequência e cálculo.
  • Definição prática para dados ordenados: a mediana é o valor que divide a amostra em duas metades iguais. Como n=50 é par, a mediana é a média do 25^\text{o} e do 26^\text{o} valores ordenados.
  • Primeiro construo as frequências acumuladas para localizar as posições:
\begin{aligned} X=1 &: \text{posições }1\text{ a }3 \quad(\text{cum}=3),\\\ X=2 &: \text{posições }4\text{ a }14 \quad(\text{cum}=14),\\\ X=3 &: \text{posições }15\text{ a }30 \quad(\text{cum}=30),\\\ X=4 &: \text{posições }31\text{ a }39 \quad(\text{cum}=39),\\\ X=5 &: \text{posições }40\text{ a }45 \quad(\text{cum}=45),\\\ X=6 &: \text{posição }46 \quad(\text{cum}=46),\\\ X=7 &: \text{posições }47\text{ a }48 \quad(\text{cum}=48),\\\ X=8 &: \text{posição }49 \quad(\text{cum}=49),\\\ X=15&: \text{posição }50 \quad(\text{cum}=50). \end{aligned}çõçõçõçõçõçãçõçãçã
  • Os 25^\text{o} e 26^\text{o} valores estão nas posições 25 e 26, que, pela tabela acima, caem em X=3 (porque as posições 15 a 30 são todas 3). Logo ambos os valores são 3, e a mediana é
\text{mediana}=3.

Passo 6

Quartis: método escolhido, explicação e cálculo.
  • Método adotado (método simples e comum em cursos iniciais): como n é par, divide-se a série ordenada em duas metades com 25 observações cada. O primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior (posições 1 a 25); o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior (posições 26 a 50). Assim:
    • Q_1 corresponde à posição 13 da amostra total (mediana de 25 observações da metade inferior),
    • Q_3 corresponde à posição 25+13=38 da amostra total.
  • Usando a tabela de posições do Passo 5:
    • Posição 13 está em X=2 (posições 4 a 14). Portanto Q_1=2.
    • Posição 38 está em X=4 (posições 31 a 39). Portanto Q_3=4.
  • O segundo quartil Q_2 é a mediana já calculada: Q_2= mediana =3.
Resumo:
Q_1=2,\qquad Q_2=3,\qquad Q_3=4.
Opcional: amplitude interquartílica IQR=Q_3-Q_1=2.

Passo 7

Variância e desvio padrão: fórmulas, justificativa do método e cálculo detalhado.
  • Escolha do método: como os dados são uma amostra (50 nascimentos observados) e usualmente deseja-se estimar a variabilidade da população a partir da amostra, uso a variância amostral não viciada com denominador n-1. A fórmula para dados com frequências é
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum x_i^2 f_i - n\bar{X}^2\Bigg).
Aqui n=50, \sum x_i^2 f_i=908 (veja Passo 2) e \bar{X}=3,64.
  • Calcular n\bar{X}^2:
n\bar{X}^2 = 50\cdot (3,64)^2 = 50\cdot 13,2496 = 662,48.
  • Numerador:
\sum x_i^2 f_i - n\bar{X}^2 = 908 - 662,48 = 245,52.
  • Variância amostral:
s^2=\frac{245,52}{49}=5,0106122449\approx 5,0106.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{5,0106122449}\approx 2,239.
Interpretação: a variação típica (desvio padrão) do número de dias é cerca de \,2,239 dias.

Passo 8

Amplitude total: definição simples e cálculo.
  • Definição: amplitude (ou intervalo) total é a diferença entre o maior e o menor valor observados:
\text{amplitude} = \max X_i - \min X_i = 15 - 1 = 14.
Isso significa que, no conjunto observado, os tempos variaram em um intervalo de 14 dias.

Passo 9

Erro padrão da média: fórmula, cálculo e significado.
  • Fórmula: o erro padrão da média (standard error, SE) estima a precisão da média amostral e é dado por
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral e n o tamanho da amostra.
  • Cálculo:
\sqrt{n}=\sqrt{50}\approx 7,0711,
\text{SE}=\frac{2,239}{7,0711}\approx 0,3166\approx 0,317.
Interpretação curta: a incerteza típica na estimativa da média é cerca de 0,317 dias.

Resposta

a) \bar{X}=3,64,\\ \text{moda}=3,\\ \text{mediana}=3
b) Q_1=2,\\ Q_2=3,\\ Q_3=4
c) s^2=5,0106,\\ s=2,239
d) \text{amplitude}=14
e) \text{erro padrão da média}=0,317ãé

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