Os dados a seguir referem-se ao número de calorias e porcentagem de gordura, por porção de meia taça, para 17 tipos de sorvete de chocolate:
Calorias 270 150 170 140 160 150 160 290 170 190 190 160 170 150 150 110 180
Gordura 18 8 10 8 9 9 9 17 9 10 10 8 9 8 8 3 9
Qual das duas variáveis é a mais homogênea? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece os valores de duas variáveis medidas em 17 tipos de sorvete (cada observação é uma porção de meia taça):
  • Calorias: 270,150,170,140,160,150,160,290,170,190,190,160,170,150,150,110,180.
  • Gordura (porcentagem): 18,8,10,8,9,9,9,17,9,10,10,8,9,8,8,3,9.
Pergunta: qual das duas variáveis é a mais homogênea? (ou seja, qual apresenta menor variabilidade relativa entre as observações).
Informações relevantes que vou usar (já dadas acima): as duas listas com n=17 observações cada.

Passo 2

O que significa “mais homogênea” e como comparar variabilidade entre variáveis com escalas diferentes.
  • A homogeneidade é medida pela dispersão dos dados: quanto menor a dispersão, mais homogênea a variável.
  • Medidas de dispersão comuns: variância \,s^{2}\, e desvio padrão \,s.; Mas desvio padrão é em unidades da variável, então não serve diretamente para comparar duas variáveis em escalas diferentes (por exemplo, calorias vs porcentagem).
  • Para comparar a homogeneidade entre variáveis com médias diferentes usa-se o coeficiente de variação (CV), que é a razão entre o desvio padrão e a média:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}.
Aqui \bar{x} é a média das observações e s é o desvio padrão amostral. O CV é adimensional e costuma ser expresso em \%. Menor CV \Rightarrow mais homogênea relativamente à sua média.
Vou calcular para cada variável: média \bar{x}, desvio padrão amostral s (usando n-1 no denominador) e então \text{CV}.

Passo 3

Fórmulas que vou usar e o que cada símbolo significa:
  • Número de observações: n=17.
  • Média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui x_i são as observações.
  • Desvio padrão amostral (com n-1):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}.
  • Fórmula computacional equivalente, útil para cálculo à mão:
s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\bar{x}^{2}}{\,n-1\,}.
Explicação: \sum x_i^{2} é a soma dos quadrados das observações; n\bar{x}^{2} equivale a \frac{(\sum x_i)^{2}}{n}. Vou aplicar essa fórmula para evitar calcular muitos desvios individuais.

Passo 4

Cálculos para a variável Calorias.
  • Soma das calorias (peguei os dados do enunciado):
\sum x_{\text{cal}} = 2960.
  • Média:
\bar{x}_{\text{cal}}=\frac{2960}{17}\approx174,117647.
  • Soma dos quadrados (peguei os quadrados de cada valor e somei):
\sum x_{\text{cal}}^{2}=546800.
  • Variância amostral pela fórmula computacional:
s_{\text{cal}}^{2}=\frac{\sum x_{\text{cal}}^{2} - n\bar{x}_{\text{cal}}^{2}}{n-1} =\frac{546800 - \dfrac{2960^{2}}{17}}{16}.
Cálculo intermediário:
\frac{2960^{2}}{17}=\frac{8761600}{17}\approx515388,235294.
Logo o numerador:
546800 - 515388,235294 \approx31411,764706.
Dividindo por 16:
s_{\text{cal}}^{2}\approx1963,235294.
  • Desvio padrão amostral:
s_{\text{cal}}=\sqrt{1963,235294}\approx44,32.
  • Coeficiente de variação:
\text{CV}_{\text{cal}}=\frac{s_{\text{cal}}}{\bar{x}_{\text{cal}}} \approx\frac{44,32}{174,117647}\approx0,2546\approx25,46\%.

Passo 5

Cálculos para a variável Gordura (porcentagem).
  • Soma das porcentagens (peguei os dados do enunciado):
\sum x_{\text{gord}}=162.
  • Média:
\bar{x}_{\text{gord}}=\frac{162}{17}\approx9,5294118.
  • Soma dos quadrados (peguei os quadrados de cada valor e somei):
\sum x_{\text{gord}}^{2}=1728.
  • Variância amostral pela fórmula computacional:
s_{\text{gord}}^{2}=\frac{\sum x_{\text{gord}}^{2} - n\bar{x}_{\text{gord}}^{2}}{n-1} =\frac{1728 - \dfrac{162^{2}}{17}}{16}.
Cálculo intermediário:
\frac{162^{2}}{17}=\frac{26244}{17}\approx1543,764706.
Numerador:
1728 - 1543,764706 \approx184,235294.
Dividindo por 16:
s_{\text{gord}}^{2}\approx11,5147059.
  • Desvio padrão amostral:
s_{\text{gord}}=\sqrt{11,5147059}\approx3,39.
  • Coeficiente de variação:
\text{CV}_{\text{gord}}=\frac{s_{\text{gord}}}{\bar{x}_{\text{gord}}} \approx\frac{3,39}{9,5294118}\approx0,3562\approx35,62\%.

Passo 6

Interpretação e comparação.
  • Resumo numérico:
    • Calorias: \bar{x}_{\text{cal}}\approx174,12, s_{\text{cal}}\approx44,32, \text{CV}_{\text{cal}}\approx25,46\%.
    • Gordura: \bar{x}_{\text{gord}}\approx9,53, s_{\text{gord}}\approx3,39, \text{CV}_{\text{gord}}\approx35,62\%.
  • Observação importante: embora o desvio padrão absoluto de Gordura ( 3,39) seja numericamente menor que o das Calorias ( 44,32), isso era de se esperar porque as unidades e a escala são muito diferentes. Para comparar homogeneidade relativa, olhamos para o CV.
  • Como \text{CV}_{\text{cal}}<\text{CV}_{\text{gord}} ( 25,46\% < 35,62\%), a variável Calorias tem menor variação relativa à sua média e, portanto, é a mais homogênea entre as duas.

Resposta

Calorias

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