Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a \mathrm{R} \ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse deúúçéú\mathrm{R} $3,15 ? Resp:\mathrm{R} $ 3,00$

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo tirado diretamente do enunciado):
  • O comerciante tinha \,70 dúzias de laranjas no total.
  • As primeiras \,25 dúzias foram vendidas a \mathrm{R}\$\,3,42 por dúzia.
  • As dúzias restantes (ou seja, 70-25) serão vendidas a um preço unitário que precisamos determinar.
  • O objetivo: escolher o preço por dúzia das dúzias restantes de modo que o preço médio, por dúzia, das \,70 dúzias vendidas seja \mathrm{R}\$\,3,15.
    O que o problema pede explicitamente: “por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias vendidas naquele dia fosse de \mathrm{R}\$\,3,15?”

Passo 2

Vamos traduzir para uma equação simples. Primeiro definimos uma incógnita e explicamos o conceito que vamos usar.
  • Seja \,x o preço (em reais) de cada dúzia das dúzias restantes.
  • Conceito usado (explicado passo a passo): o preço médio por dúzia é a receita total dividida pelo número total de dúzias. Em fórmula:
\text{Preço médio}=\frac{\text{receita total}}{\text{número de dúzias}}çéúú
Aqui a receita total é a soma da receita obtida com as primeiras 25 dúzias e a receita obtida com as 70-25 dúzias restantes. O número de dúzias é 70. Queremos que o preço médio seja \mathrm{R}\$\,3,15.

Passo 3

Escrevendo a equação que traduz o enunciado:
  • Receita das primeiras 25 dúzias: 25\cdot \mathrm{R}\$\,3,42.
  • Número de dúzias restantes: 70-25=45.
  • Receita das dúzias restantes: 45\cdot \mathrm{R}\$\,x.
  • Receita total: 25\cdot 3,42 + 45\cdot x.
    A condição do preço médio \mathrm{R}\$\,3,15 dá a equação
\frac{25\cdot 3,42 + 45\cdot x}{70} = 3,15.

Passo 4

Agora manipulamos a equação para isolar x. Multiplicando ambos os lados por 70 para eliminar o denominador:
25\cdot 3,42 + 45\cdot x = 70\cdot 3,15.
Calculamos os produtos numéricos (mostrando passo a passo):
70\cdot 3,15 = 220,50,
25\cdot 3,42 = 85,50.
Substituindo:
85,50 + 45\cdot x = 220,50.
Subtraindo 85,50 dos dois lados:
45\cdot x = 220,50 - 85,50 = 135,00.
Dividindo por 45:
x = \frac{135,00}{45} = 3,00.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: x=\mathrm{R}\$\,3,00. Faz sentido: as primeiras dúzias foram vendidas a \mathrm{R}\$\,3,42 e as restantes a \mathrm{R}\$\,3,00; a média ponderada entre estes preços com pesos 25 e 45 dá exatamente \mathrm{R}\$\,3,15. Então este é o preço que o comerciante deve praticar nas 45 dúzias restantes para atingir o preço médio pedido. Força aí — essa conta de média ponderada é muito útil em prova e é rápida de fazer!

Resposta

\mathrm{R}\$\,3,00

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