Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a
3,42
\mathrm{R} $3,15
\mathrm{R} $ 3,00$
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo tirado diretamente do enunciado):
- O comerciante tinha
dúzias de laranjas no total. - As primeiras
dúzias foram vendidas a por dúzia. - As dúzias restantes (ou seja,
) serão vendidas a um preço unitário que precisamos determinar. - O objetivo: escolher o preço por dúzia das dúzias restantes de modo que o preço médio, por dúzia, das
dúzias vendidas seja .
O que o problema pede explicitamente: “por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias vendidas naquele dia fosse de?”
Passo 2
Vamos traduzir para uma equação simples. Primeiro definimos uma incógnita e explicamos o conceito que vamos usar.
- Seja
o preço (em reais) de cada dúzia das dúzias restantes. - Conceito usado (explicado passo a passo): o preço médio por dúzia é a receita total dividida pelo número total de dúzias. Em fórmula:
Aqui a receita total é a soma da receita obtida com as primeiras
dúzias e a receita obtida com as
dúzias restantes. O número de dúzias é
. Queremos que o preço médio seja
.
Passo 3
Escrevendo a equação que traduz o enunciado:
- Receita das primeiras
dúzias: . - Número de dúzias restantes:
. - Receita das dúzias restantes:
. - Receita total:
.
A condição do preço médiodá a equação
Passo 4
Agora manipulamos a equação para isolar
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Calculamos os produtos numéricos (mostrando passo a passo):
Substituindo:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
. Faz sentido: as primeiras dúzias foram vendidas a
e as restantes a
; a média ponderada entre estes preços com pesos
e
dá exatamente
. Então este é o preço que o comerciante deve praticar nas
dúzias restantes para atingir o preço médio pedido. Força aí — essa conta de média ponderada é muito útil em prova e é rápida de fazer!