Considere uma escada de comprimento
e massa
uniformemente distribuida. A mesma é apoiada sobre uma parede vertical de atritos iguais aos do solo dados pelos coeficientes estático e cinético
e
, respectivamente. A escada é colocada em una posiçāo que está a ponto de escorregar.
(a) Encontre o ângulo que a escada faz com a vertical.
(b) Encontre todas as forças que atuam sobre a escada.
(a) Encontre o ângulo que a escada faz com a vertical.
(b) Encontre todas as forças que atuam sobre a escada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) o ângulo que a escada faz com a vertical quando está a ponto de escorregar;
(b) todas as forças que atuam sobre a escada (módulos e direções).
(a) o ângulo que a escada faz com a vertical quando está a ponto de escorregar;
(b) todas as forças que atuam sobre a escada (módulos e direções).
Dados importantes fornecidos:
- comprimento da escada
; - massa da escada
, com massa uniformemente distribuída (centro de massa no ponto médio); - coeficiente de atrito estático
e coeficiente de atrito cinético . O enunciado diz que os atritos da parede e do solo têm os mesmos coeficientes e ; - a escada está na posição limite de escorregar (ou seja, as forças de atrito estático atingem seus valores máximos possíveis).
Não começo a resolver ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Desenho mental do sistema e forças (vou explicar cada força e sua razão):
- A parede é vertical e o chão é horizontal. Chamo de
o ângulo que a escada forma com a vertical (conforme pedido). - Centro de massa: por ser uniforme, está no meio da escada, a uma distância
do pé ao longo da escada. - Forças que atuam:
- peso: força gravitacional
aplicada no centro da escada, direção vertical para baixo. - reação normal no chão: chamo
, direção vertical para cima (pois o chão sustenta a escada). - atrito no chão: chamo
, direção horizontal (tangencial ao chão). Quando a escada tende a escorregar, o pé tende a mover-se no sentido oposto ao atrito; se a escada vai escorregar, o atrito no pé atua em sentido que impede esse deslizamento. - reação normal na parede: chamo
, direção horizontal, perpendicular à parede (empurra a escada para longe da parede). - atrito na parede: chamo
, direção vertical (tangencial à parede). Se a escada tende a descer pelo topo, o atrito na parede atua para cima.
- peso: força gravitacional
Explicação didática do atrito estático limite:
- O atrito estático máximo que pode aparecer numa superfície é
, onde é a normal nessa superfície. No estado “a ponto de escorregar” usamos igualdade . - Temos dois pontos de contato (solo e parede), e em estado limite ambos os atritos podem atingir seus máximos. Vamos assumir esse caso (é o caso típico do problema).
Passo 3
Escrever as equações de equilíbrio (forças e torques), lembrando que a escada está em repouso estático (somatório de forças e somatório de momentos nulos).
- Equilíbrio das forças na direção horizontal:
- Equilíbrio das forças na direção vertical:
- Equilíbrio de momentos (torques). Escolho o pé da escada como ponto de referência para calcular momentos — assim as forças
e passam por esse ponto e não contribuem com momento (economiza contas). Considere momento positivo no sentido que amplia o ângulo (convenção consistente).
- Braços das forças em relação ao pé:
- a normal na parede
atua no topo; sua linha de ação tem braço vertical ; - o atrito na parede
atua no topo; seu braço horizontal é ; - o peso
aplicado no centro tem braço horizontal .
Logo o somatório de momentos em torno do pé:
- a normal na parede
Dividindo por
(positivo) obtemos
Passo 4
Aplicar as condições de atrito no estado limite (a escada está “a ponto de escorregar”):
- No contato com a parede:
. - No contato com o chão:
.
Use a relação horizontal
(passo 3) junto com
para relacionar
e
:
Use agora a equação vertical
com
:
Isolando
:
Fazendo um único denominador:
Portanto já temos uma expressão para a normal na parede em termos de
.
Passo 5
Voltar à equação de momento e substituir
. Da equação de momentos:
Substituindo
:
Agora substituímos
encontrado no passo anterior, mas podemos simplificar antes dividindo ambos os lados por
. Usarei
já calculado para eliminar
e obter uma relação entre
e
. Substituindo
e cancelando
:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, passo a passo:
Agrupando os termos com
:
Passando o segundo termo para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Finalmente isolando
:
Passo 6
Interpretação e condições:
- A expressão obtida é válida enquanto o denominador
for positivo, i.e., . Se a escada não escorregaria nessa posição (ou o modelo precisa de interpretação adicional). - Para
pequeno, a aproximação é recuperada, que é a versão linearizada.
Passo 7
Calcular explicitamente as outras forças em função de
(já obtivemos
):
- Normal na parede:
- Atrito na parede (direção vertical para cima, no estado limite):
- Normal no chão (vertical para cima):
- Atrito no chão (horizontal, dirigido para o interior/parede, magnitude igual a
por equilíbrio horizontal):
- Peso (no centro da escada, direção vertical para baixo):
.
Observação sobre
: o coeficiente cinético
entra em cena apenas se a escada efetivamente passa a escorregar (movimento); então, durante o movimento o atrito teria valor
. Mas para o ângulo de início de deslizamento usamos
.