Cometideramis C a curva parametrizada por \vec{r}(t)=(1+t) \vec{i}-(3-2 t) \vec{j}+(1+2 t) \vec{k}:
a) Determine qual a curva descrita por C :
b) Reparametrize C pela magnitude de arco, respeitando a orientação e tendo como ponto de referência o ponto (1,-3,1).
c) Determine o ponto de C que está a 25 unidades do ponto de referência na direção do parâmetro crescente.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada por
\vec{r}(t) = (1+t)\,\vec{i} - (3-2t)\,\vec{j} + (1+2t)\,\vec{k},
e pede:
a) identificar que curva é C,
b) reparametrizar por comprimento de arco s tomando como referência o ponto (1,-3,1) e mantendo a orientação,
c) achar o ponto em C que está a 25 unidades do ponto de referência no sentido de s crescente.
Para isso vamos usar derivação de parametrização (para ver se é reta), cálculo de norma do vetor velocidade e integração para comprimento de arco.

Passo 2

Calculemos o vetor velocidade e vejamos se ele é constante:
\vec{r}\,'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((1+t),\,-(3-2t),\,(1+2t)\bigr) = (1,\,2,\,2).
Como \vec{r}\,'(t) é constante, C é uma reta. Tomando ponto base \vec{r}(0)=(1,-3,1) e direção (1,2,2), a equação cartesiana é
\frac{x-1}{1} \;=\;\frac{y+3}{2}\;=\;\frac{z-1}{2}.

Passo 3

Para reparametrizar por arco, primeiro a norma de \vec{r}\,'(t):
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+2^2+2^2} =3.
Escolhendo t=0 em (1,-3,1) como s=0, o comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}3\,du=3t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{s}{3}.
Substituindo em \vec{r}(t), obtemos a reparametrização
\vec{r}(s) =\bigl(1+\tfrac{s}{3},\,-3+2\tfrac{s}{3},\,1+2\tfrac{s}{3}\bigr).

Passo 4

O ponto de C a 25 unidades de (1,-3,1) no sentido de s crescente corresponde a s=25. Logo
\vec{r}(25) =\bigl(1+\tfrac{25}{3},\,-3+\tfrac{50}{3},\,1+\tfrac{50}{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac{28}{3},\,\tfrac{41}{3},\,\tfrac{53}{3}\Bigr).

Resposta

a) C é a reta de direção (1,2,2) passando por (1,-3,1), com equação
\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{2}.
b) Reparametrização por arco
\vec{r}(s)=\bigl(1+\tfrac{s}{3},\,-3+\tfrac{2s}{3},\,1+\tfrac{2s}{3}\bigr).
c) O ponto a 25 unidades no sentido de s positivo é
\Bigl(\tfrac{28}{3},\,\tfrac{41}{3},\,\tfrac{53}{3}\Bigr).

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