Resolva as seguintes equações diferenciais:
e^{x}(1+y) \frac{d y}{d x}+\left(1+e^{x}\right)\left(y^{2}+y-2\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{x}(1+y)\,\frac{dy}{dx} + (1+e^{x})(y^{2}+y-2) = 0
É uma equação de primeira ordem que podemos resolver por separação de variáveis. Vamos isolar dy de um lado e dx do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos de \displaystyle \frac{dy}{dx}:
e^{x}(1+y)\,\frac{dy}{dx} = -\,(1+e^{x})\,(y^{2}+y-2).
Dividindo ambos os lados por e^{x}(1+y):
\frac{dy}{dx} = -\frac{1+e^{x}}{e^{x}(1+y)}\,(y^{2}+y-2).
Observe que \displaystyle \frac{1+e^{x}}{e^{x}} = e^{-x}+1 e que y^{2}+y-2=(y+2)(y-1). Logo
\frac{dy}{dx} = -\bigl(e^{-x}+1\bigr)\,\frac{(y+2)(y-1)}{y+1}.

Passo 3

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{y+1}{(y+2)(y-1)}\,dy = -\bigl(e^{-x}+1\bigr)\,dx.
Agora vamos integrar cada lado.

Passo 4

Calculemos a integral em y:
\int \frac{y+1}{(y+2)(y-1)}\,dy.
Fazendo frações parciais:
\frac{y+1}{(y+2)(y-1)} = \frac{2/3}{y-1} + \frac{1/3}{y+2}.
Então
\int \frac{y+1}{(y+2)(y-1)}\,dy = \frac{2}{3}\ln\bigl|y-1\bigr| + \frac{1}{3}\ln\bigl|y+2\bigr| + C_1.

Passo 5

Agora a integral em x:
\int -\bigl(e^{-x}+1\bigr)\,dx = -\int e^{-x}dx \;-\;\int dx = e^{-x} - x + C_2.

Passo 6

Igualando as duas integrais (absorvendo C_1-C_2 num só C) temos
\frac{2}{3}\ln\bigl|y-1\bigr| + \frac{1}{3}\ln\bigl|y+2\bigr| = e^{-x} - x + C.
Multiplicando por 3 e combinando logaritmos:
\ln\Bigl(|y-1|^{2}\,|y+2|\Bigr) = 3e^{-x} - 3x + C'
elevando exponencialmente:
(y-1)^{2}(y+2) = K\,e^{\,3e^{-x} - 3x},
onde K=e^{C'} é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
(y-1)^{2}(y+2) = K\,e^{\,3e^{-x} - 3x},
onde K é constante de integração.

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