Encontre:
\int\left(3 x^{2}+6 x y-2 y^{2}\right) d x+\left(3 x^{2}-4 x y+3 y^{2}\right) d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
com
M(x,y)=3x^{2}+6xy-2y^{2}, \quad N(x,y)=3x^{2}-4xy+3y^{2},
e pede sua primitiva F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy. Isso é um problema de forma exata: vamos primeiro verificar a exatidão e depois construir F.

Passo 2

Para ser exata, devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+6xy-2y^{2}) =6x-4y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-4xy+3y^{2}) =6x-4y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que \partial F/\partial x=M. Integramos M em x, tratando y como constante:
F(x,y) =\int (3x^{2}+6xy-2y^{2})\,dx =x^{3}+3x^{2}y-2x\,y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos \partial F/\partial y=N. Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+3x^{2}y-2x\,y^{2}+h(y)\bigr) =3x^{2}-4xy+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=3x^{2}-4xy+3y^{2}. Logo
3x^{2}-4xy+h'(y) =3x^{2}-4xy+3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=3y^{2}.
Integramos em y:
h(y)=\int 3y^{2}\,dy=y^{3}+C.

Resposta

F(x,y) =x^{3}+3x^{2}y-2x\,y^{2}+y^{3}+C.

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