Encontre a parametrização da curva C descrita pelo primeiro quadrante da elipse 4 x^{2}+9 y^{2}=36, percorrida do eixo x ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da elipse
4x^{2} + 9y^{2} = 36
que fica no primeiro quadrante e deve ser percorrida do ponto sobre o eixo x até o ponto sobre o eixo y. O conteúdo envolvido é a parametrização de curvas planas usando funções trigonométricas.

Passo 2

Reescrevendo a equação numa forma padrão de elipse, dividimos por 36:
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.
Dessa forma, identificamos que os semi-eixos são a=3 no eixo x e b=2 no eixo y.

Passo 3

A parametrização trigonométrica padrão para uma elipse com semi-eixos a e b é
x = a\cos t,\quad y = b\sin t,
onde t varia de 0 a 2\pi para percorrer toda a elipse. Substituindo a=3 e b=2, temos
x = 3\cos t,\quad y = 2\sin t.

Passo 4

Como queremos apenas o ramo no primeiro quadrante, devemos restringir t a
0 \le t \le \frac{\pi}{2}.
Nessa escolha, em t=0 estamos em (3,0) sobre o eixo x e em t=\tfrac{\pi}{2} chegamos a (0,2) sobre o eixo y, garantindo o sentido pedido.

Resposta

A parametrização de C é
\mathbf{r}(t)=\bigl(3\cos t,\;2\sin t\bigr), \quad 0 \le t \le \frac{\pi}{2}.

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