Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 do segundo ano.
Quantas comissões com pelo menos 1 aluno do primeiro ano existem?

Passo 1

O enunciado pede o número de comissões de 8 alunos formadas a partir de um grupo de 53 alunos, sendo 19 do primeiro ano e 34 do segundo, com a restrição de ter pelo menos 1 aluno do primeiro ano. O conteúdo é de combinatória e vamos usar coeficientes binomiais e o princípio do complemento.

Passo 2

Primeiro, contamos todas as comissões possíveis de 8 alunos entre os 53 sem nenhuma restrição. Esse número é dado pelo coeficiente binomial
\binom{53}{8}.

Passo 3

Em seguida, contamos quantas comissões não têm nenhum aluno do primeiro ano, isto é, todas as 8 vagas são ocupadas por alunos do segundo ano (34 alunos). Esse total é
\binom{34}{8}.

Passo 4

Pelo princípio do complemento, o número de comissões com pelo menos 1 aluno do primeiro ano é a diferença entre o total de comissões e as comissões sem nenhum aluno do primeiro ano:
\binom{53}{8} \;-\;\binom{34}{8}.

Resposta

\displaystyle \binom{53}{8} - \binom{34}{8}

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