Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escollhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens naio aceitassem participar da comissio se nela
estivesse determinada mulher?

Passo 1

O enunciado pede para formar uma comissão com 3 homens e 3 mulheres a partir de um grupo de 8 homens e 5 mulheres. O conteúdo aqui é análise combinatória, especificamente o cálculo de combinações, pois a ordem dos escolhidos não importa.

Passo 2

Para o total de comissões sem nenhuma restrição, primeiro escolhemos 3 homens entre os 8 disponíveis e depois 3 mulheres entre as 5 disponíveis. Em símbolos:
\binom{8}{3}\times\binom{5}{3}.
Calculando cada combinação temos \binom{8}{3}=56 e \binom{5}{3}=10, logo o total é
56\times10=560.

Passo 3

Agora, no caso com restrição, existe um homem “problemático” (digamos H^*) que se recusa a participar sempre que uma certa mulher (digamos M^*) também estiver na comissão. Vamos contar quantas comissões incluem ambos H^* e M^*, pois essas são as proibidas.
  • Fixamos H^* e M^*.
  • Escolhemos os outros 2 homens entre os 7 restantes: \binom{7}{2}.
  • Escolhemos as outras 2 mulheres entre as 4 restantes: \binom{4}{2}.
    Portanto, o número de comissões proibidas é
\binom{7}{2}\times\binom{4}{2}=21\times6=126.

Passo 4

Para obter o número de comissões válidas com essa restrição, basta subtrair as proibidas do total sem restrição:
560 - 126 = 434.

Resposta

(a) 560
(b) 434

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