Questão 1.
Um pesquisador que está estudando uma população de araucárias com mais de 15 anos em uma reserva ambiental mediu a altura de n=25 araucárias e calculou sua média amostral em \bar{X}=8,00 \mathrm{~m}. Sabe-se de estudos prévios que a variância populacional das alturas dessas araucárias é de \sigma^{2}=16,00 \mathrm{~m}^{2}, e logo que o desvio padrão populacional correspondente é de \sigma=4,00 \mathrm{~m}.
a. Calcule a estatística de teste Z_{\text {obs }} assumindo um valor de referência para a média populacional de \mu_{0}=7,50 \mathrm{~m}.
b. Assumindo um nível \alpha=5 \% de significância, teste a hipótese H_{0}: \mu= 7,50 \mathrm{~m} contra H_{1}: \mu \neq 7,50 \mathrm{~m} e interprete os resultados (Dica: pode utilizar que Z_{1-\alpha / 2}=Z_{0,975}=1,96 \simeq 2,00 ).
c. Calcule o p-valor \hat{\alpha} do teste feito no item anterior. Sua conclusão com respeito à aceitar/rejeitar H_{0} continua a mesma? Comente.
d. Suponha que um pesquisador da área afirme que a média de alturas das araucárias é igual a \mu_{0}=7,50 \mathrm{~m}. Você diria que ele está correto? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipóteses para a média \mu das alturas das araucárias, com amostra de tamanho n=25, média amostral \bar{X}=8{,}00 m e desvio padrão populacional conhecido \sigma=4{,}00 m. Vamos usar o teste Z para média com variância conhecida, comparando com o valor de referência \mu_0=7{,}50 m.

Passo 2

A estatística de teste é
Z_{\text{obs}} =\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{8{,}00-7{,}50}{4{,}00/\sqrt{25}} =\frac{0{,}50}{4{,}00/5} =\frac{0{,}50}{0{,}80} =0{,}625.

Passo 3

No teste bilateral com \alpha=5\%, os valores críticos são \pm Z_{0{,}975}=\pm1{,}96. Como
|Z_{\text{obs}}|=0{,}625<1{,}96,
a região de não rejeição inclui Z_{\text{obs}}. Logo, não rejeitamos H_{0}.

Passo 4

O p-valor é
\hat{\alpha} =2\bigl[1-\Phi(|Z_{\text{obs}}|)\bigr] =2\bigl[1-\Phi(0{,}625)\bigr]\approx2\,(1-0{,}7340)\approx0{,}532.
Como \hat{\alpha}\approx0{,}532>\alpha=0{,}05, a conclusão permanece: falhamos em rejeitar H_{0}.

Passo 5

Dizer que a média é igual a 7{,}50 m significa aceitar H_{0}. O teste mostrou que não há evidência estatística para refutar essa hipótese, mas isso não prova que \mu=7{,}50 m com certeza—apenas que os dados não contradizem o valor usado como referência.

Resposta

a. Z_{\text{obs}}=0{,}625
b. Não rejeita H_{0} (pois |Z_{\text{obs}}|<1{,}96).
c. p-valor \approx0{,}532, mesma conclusão (não rejeitar).
d. Não há evidência para refutar a afirmação de que \mu=7{,}50 m, mas isso não prova definitivamente que seja esse o valor.

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