Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?

Passo 1

O enunciado descreve um torneio em que cada participante joga exatamente uma vez contra cada um dos demais (turno único). O conteúdo aqui é a contagem de partidas em um torneio “round-robin”, cuja fórmula geral é
\frac{n(n-1)}{2},
onde n é o número de participantes. Vamos usar essa fórmula e igualar ao número total de partidas, que é 780.

Passo 2

Igualamos a expressão de partidas ao valor dado:
\frac{n(n-1)}{2} = 780.
Multiplicando os dois lados por 2, obtemos a equação quadrática
n(n-1) = 1560 \quad\Longrightarrow\quad n^{2} - n - 1560 = 0.

Passo 3

Resolvemos n^{2} - n - 1560 = 0 pelo discriminante:
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1560) = 1 + 6240 = 6241 = 79^{2}.
As raízes são
n = \frac{1 \pm 79}{2}.
Descartamos a solução negativa e ficamos com
n = \frac{1 + 79}{2} = 40.

Resposta

40 participantes.

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