A comissão de Formatura do Curso de Matemática contratou junto à empresa AIR.BR um avião para transportar um grupo de concludentes, nos seguintes termos: 1. o avião disponibiliza 90 assentos; II. para cada assento ocupado, a empresa recebe R$ 900,00 fixos mais um valor variável v; III. o valor variável v é igual a n R$ 50,00, onde n é o número de assentos desocupados. Nessas condições, a maior receita que a empresa poderá obter está entre
A) R$ 140.000,00 e R$ 150.000,00
B) R$ 150.000,00 e R$ 160.000,00
C) R$ 160.000,00 e R$ 170.000,00
D) R$ 170.000,00 e R$ 180.000,00
E) R$ 180.000,00 e R$ 190.000,00

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma situação onde uma empresa de transporte aéreo está contratando um avião com 90 assentos para transportar um grupo. A empresa ganha dinheiro de duas formas:
  1. Fixos: R$ 900,00 por cada assento ocupado.
  2. Variáveis: Um valor que depende de quantos assentos ficam desocupados, calculado como $ v = n \times 50 $, onde $ n $ é o número de assentos vazios.
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior receita que a empresa pode obter com esses dados.

Passo 2

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • $ x $: número de assentos ocupados.
  • $ n $: número de assentos desocupados. Como há 90 assentos no total, $ n = 90 - x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a receita total da empresa. A receita vem de duas partes:
  1. Receita fixa: São $ R$ 900,00 $ por cada assento ocupado, então a receita fixa total é $ 900x $.
  2. Receita variável: É calculada como $ v = n \times 50 = (90 - x) \times 50 $. Essa receita é por cada assento ocupado, então a receita variável total é $ x \times v = x \times (90 - x) \times 50 $.

Passo 4

Juntando as duas receitas, temos a receita total $ R $ da empresa:
R
Vamos simplificar essa expressão:
R = 900x + 50x(90 - x)
R = 900x + 4500x - 50x^2

Passo 5

Para encontrar a maior receita possível, precisamos determinar o valor de $ x $ que maximiza a função $ R = 5400x - 50x^2 $. Essa é uma função quadrática que abre para baixo, então o ponto máximo ocorre no vértice da parábola.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é:
x
Aqui, $ a = -50 $ e $ b = 5400 $:
R = 5400x - 50x^2

Passo 6

Agora que sabemos que o número de assentos ocupados para maximizar a receita é 54, vamos calcular a receita máxima:
R = 5400 times 54 - 50 times (54)^2
R = 291600 - 50 times 2916
R = 291600 - 145800
R = 145800

Resposta

A maior receita que a empresa poderá obter é de R$ 145.800,00, o que está entre R$ 140.000,00 e R$ 150.000,00. Portanto, a resposta correta é a alternativa A).

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