Um comitê de 5 pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 6 homens e 4 mulheres. Se a escolha dos membros for feita de forma totalmente aleatória, qual é a probabilidade de que o comitê seja formado por exatamente \mathbf{3} homens e \mathbf{2} mulheres?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 6 homens e 4 mulheres, totalizando 10 pessoas.
  • Será formado um comitê de 5 pessoas escolhido aleatoriamente entre essas 10.
  • A pergunta: qual a probabilidade de o comitê ter exatamente 3 homens e 2 mulheres?

Passo 2

Estratégia clara (sem resolver ainda): para problemas de seleção aleatória sem ordem, a probabilidade é
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de maneiras favoráveis}}{\text{número total de maneiras}}.úáú
Vou então contar (a) de quantas maneiras posso escolher um comitê com exatamente 3 homens e 2 mulheres e (b) de quantas maneiras posso escolher qualquer comitê de 5 pessoas dentre as 10.

Passo 3

Vou explicar como contar combinações (isso é fundamental aqui). A quantidade de maneiras de escolher k objetos entre n sem ordem é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Intuitivamente, \binom{n}{k} conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. Exemplos rápidos:
  • \binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
  • \binom{6}{3}=\dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.

Passo 4

Calcular o número de maneiras favoráveis (exatamente 3 homens e 2 mulheres).
  • Escolher 3 homens dentre os 6: \displaystyle \binom{6}{3}. \binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
  • Escolher 2 mulheres dentre as 4: \displaystyle \binom{4}{2}. \binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Como as escolhas são independentes (escolher homens e mulheres simultaneamente corresponde ao produto das escolhas), o número de comitês favoráveis é
\binom{6}{3}\cdot\binom{4}{2}=20\cdot6=120.

Passo 5

Calcular o número total de maneiras de formar um comitê de 5 entre as 10 pessoas:
\binom{10}{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.

Passo 6

Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total:
\text{probabilidade}=\frac{120}{252}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 12):
\frac{120}{252}=\frac{10}{21}\approx 0,47619.

Passo 7

Resumo/checagem rápida: a mesma fórmula pode ser vista como a massa de probabilidade hipergeométrica
\mathbb{P}(X=3)=\frac{\binom{6}{3}\binom{4}{2}}{\binom{10}{5}},
que dá exatamente \dfrac{10}{21}, confirmando o cálculo anterior. Força aí — essa é uma pergunta clássica e o raciocínio de contar combinações é o que mais cai na prova.

Resposta

\dfrac{10}{21}

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