Um comitê de 5 pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 6 homens e 4 mulheres. Se a escolha dos membros for feita de forma totalmente aleatória, qual é a probabilidade de que o comitê seja formado por exatamente
homens e
mulheres?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
homens e mulheres, totalizando pessoas. - Será formado um comitê de
pessoas escolhido aleatoriamente entre essas . - A pergunta: qual a probabilidade de o comitê ter exatamente
homens e mulheres?
Passo 2
Estratégia clara (sem resolver ainda): para problemas de seleção aleatória sem ordem, a probabilidade é
Vou então contar (a) de quantas maneiras posso escolher um comitê com exatamente
homens e
mulheres e (b) de quantas maneiras posso escolher qualquer comitê de
pessoas dentre as
.
Passo 3
Vou explicar como contar combinações (isso é fundamental aqui). A quantidade de maneiras de escolher
objetos entre
sem ordem é o coeficiente binomial
onde
(fatorial) significa
. Intuitivamente,
conta quantos subconjuntos de tamanho
existem em um conjunto de
elementos. Exemplos rápidos:
-
. -
.
Passo 4
Calcular o número de maneiras favoráveis (exatamente
homens e
mulheres).
- Escolher
homens dentre os : . - Escolher
mulheres dentre as : .
Como as escolhas são independentes (escolher homens e mulheres simultaneamente corresponde ao produto das escolhas), o número de comitês favoráveis é
Passo 5
Calcular o número total de maneiras de formar um comitê de
entre as
pessoas:
Passo 6
Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 7
Resumo/checagem rápida: a mesma fórmula pode ser vista como a massa de probabilidade hipergeométrica
que dá exatamente
, confirmando o cálculo anterior. Força aí — essa é uma pergunta clássica e o raciocínio de contar combinações é o que mais cai na prova.