Segundo os axiomas de Kolmogorov, a probabilidade de um evento A satisfaz qual das seguintes propriedades?
A) P(A) \geq-1
B) 0 \leq P(A) \leq 1
C) P(A) \geq 1
D) P(A) è sempre igual a 1

Passo 1

O enunciado pergunta: segundo os axiomas de Kolmogorov, qual propriedade a probabilidade de um evento A satisfaz? As alternativas fornecidas são:
A) P(A) \ge -1
B) 0 \le P(A) \le 1
C) P(A) \ge 1
D) P(A) é sempre igual a 1
O objetivo é escolher a alternativa correta e justificar, usando os axiomas de Kolmogorov.

Passo 2

Vou escrever os três axiomas de Kolmogorov (cada símbolo explicado em seguida):
Axioma 1 (não negatividade): \forall A,\; P(A) \ge 0.
  • Aqui A é qualquer evento (subconjunto do espaço amostral \Omega). Esse axioma diz que probabilidades não podem ser negativas.
Axioma 2 (normalização): P(\Omega)=1.
  • \Omega é o espaço amostral (o conjunto de todos os resultados possíveis). A soma da probabilidade de todos os resultados possíveis é 1.
Axioma 3 (aditividade contável): Se A_1,A_2,\dots são eventos mutuamente disjuntos (ou seja, A_i \cap A_j = \varnothing para i\neq j), então
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\Bigr)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i).
  • Isso formaliza que a probabilidade de uma união disjunta é a soma das probabilidades.

Passo 3

Usando o Axioma 1 obtemos imediatamente a parte inferior do intervalo pedido: para qualquer evento A vale
P(A) \ge 0.
Isto já descarta alternativas que exigem valores negativos como limite mais forte (por exemplo, a alternativa A diz P(A)\ge -1, que é verdadeira numericamente, mas não é a informação precisa dada pelos axiomas — veremos a seguir o porquê).

Passo 4

Agora obtenho a desigualdade superior P(A)\le 1 a partir dos axiomas. Considere que \Omega se escreve como união disjunta de A com seu complementar \Omega\setminus A:
\Omega = A \cup (\Omega\setminus A), \qquad A\cap(\Omega\setminus A)=\varnothing.
Pelo Axioma 3 (aditividade) e pelo Axioma 2 (normalização),
P(\Omega)=P\bigl(A\cup(\Omega\setminus A)\bigr)=P(A)+P(\Omega\setminus A)=1.
Como pelo Axioma 1 temos P(\Omega\setminus A)\ge 0, isolando P(A) obtemos
P(A)=1-P(\Omega\setminus A)\le 1.
Portanto, juntando com o resultado do Passo 3:
0 \le P(A) \le 1.

Passo 5

Interpretação e por que as outras alternativas são inválidas:
  • A alternativa B, 0 \le P(A) \le 1, é exatamente o que acabamos de deduzir dos axiomas: não-negatividade e normalização implicam esse intervalo.
  • A alternativa A, P(A)\ge -1, é numericamente verdadeira sempre (porque P(A)\ge 0 implica P(A)\ge -1), mas é uma afirmação fraca e não é a propriedade central derivada dos axiomas — a forma correta e completa é a alternativa B.
  • A alternativa C, P(A)\ge 1, é falsa em geral: só ocorreria se P(A)=1 para todo A, o que não é verdade (por exemplo, em um lançamento de moeda justa, P(\text{cara})=\tfrac{1}{2}, que é menor que 1).
  • A alternativa D, P(A) é sempre igual a 1, é claramente falsa porque somente o evento certo \Omega tem probabilidade 1; eventos típicos têm probabilidades entre 0 e 1 (ex.: P(\varnothing)=0, probabilidade do evento impossível).

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando pedirem propriedades básicas de probabilidade, lembre sempre dos dois pontos-chave — não-negatividade \;P(A)\ge 0\; e normalização \;P(\Omega)=1\; — e use a decomposição \Omega=A\cup(\Omega\setminus A) para obter o limite superior P(A)\le 1. Respira fundo: com esses dois passos a resposta costuma vir numa linha só.

Resposta

B) 0 \le P(A) \le 1

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