Segundo os axiomas de Kolmogorov, a probabilidade de um evento A satisfaz qual das seguintes propriedades?
A)
B)
C)
D)
è sempre igual a 1
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado pergunta: segundo os axiomas de Kolmogorov, qual propriedade a probabilidade de um evento
satisfaz? As alternativas fornecidas são:
A)
B)
C)
D) é sempre igual a
A)
B)
C)
D)
O objetivo é escolher a alternativa correta e justificar, usando os axiomas de Kolmogorov.
Passo 2
Vou escrever os três axiomas de Kolmogorov (cada símbolo explicado em seguida):
Axioma 1 (não negatividade):
.
- Aqui
é qualquer evento (subconjunto do espaço amostral ). Esse axioma diz que probabilidades não podem ser negativas.
Axioma 2 (normalização):
.
-
é o espaço amostral (o conjunto de todos os resultados possíveis). A soma da probabilidade de todos os resultados possíveis é .
Axioma 3 (aditividade contável): Se
são eventos mutuamente disjuntos (ou seja,
para
), então
- Isso formaliza que a probabilidade de uma união disjunta é a soma das probabilidades.
Passo 3
Usando o Axioma 1 obtemos imediatamente a parte inferior do intervalo pedido: para qualquer evento
vale
Isto já descarta alternativas que exigem valores negativos como limite mais forte (por exemplo, a alternativa A diz
, que é verdadeira numericamente, mas não é a informação precisa dada pelos axiomas — veremos a seguir o porquê).
Passo 4
Agora obtenho a desigualdade superior
a partir dos axiomas. Considere que
se escreve como união disjunta de
com seu complementar
:
Pelo Axioma 3 (aditividade) e pelo Axioma 2 (normalização),
Como pelo Axioma 1 temos
, isolando
obtemos
Portanto, juntando com o resultado do Passo 3:
Passo 5
Interpretação e por que as outras alternativas são inválidas:
- A alternativa B,
, é exatamente o que acabamos de deduzir dos axiomas: não-negatividade e normalização implicam esse intervalo. - A alternativa A,
, é numericamente verdadeira sempre (porque implica ), mas é uma afirmação fraca e não é a propriedade central derivada dos axiomas — a forma correta e completa é a alternativa B. - A alternativa C,
, é falsa em geral: só ocorreria se para todo , o que não é verdade (por exemplo, em um lançamento de moeda justa, , que é menor que ). - A alternativa D,
é sempre igual a , é claramente falsa porque somente o evento certo tem probabilidade ; eventos típicos têm probabilidades entre e (ex.: , probabilidade do evento impossível).
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando pedirem propriedades básicas de probabilidade, lembre sempre dos dois pontos-chave — não-negatividade
e normalização
— e use a decomposição
para obter o limite superior
. Respira fundo: com esses dois passos a resposta costuma vir numa linha só.
Resposta
B)