Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se dentro das normas, ou seja, igual a 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises, obtendo as seguintes quantidades de nicotina: 30,27,24,28,30,26. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente. Pode-se aceitar, ao nível de 5 \% de significância, a afirmação do fabricante?

Passo 1

O fabricante afirma que a média de nicotina é \mu_{0}=26 mg por cigarro. Um laboratório mede n=6 cigarros e obtém os valores (30,27,24,28,30,26). Como a variância populacional é desconhecida e a distribuição é normal, faremos um teste t de Student bilateral ao nível de \alpha=0,05 para verificar
H_{0}:\mu=26 \qquad\text{vs.}\qquad H_{1}:\mu\neq26.

Passo 2

Calculemos a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s.
\bar{x} =\frac{30+27+24+28+30+26}{6} =\frac{165}{6} =27{,}5
Desvios ao quadrado e soma:
(30-27{,}5)^2=6{,}25,\; (27-27{,}5)^2=0{,}25,\; (24-27{,}5)^2=12{,}25,\; (28-27{,}5)^2=0{,}25,\; (30-27{,}5)^2=6{,}25,\; (26-27{,}5)^2=2{,}25,
\sum (x_i-\bar{x})^2=27{,}5 \quad\Rightarrow\quad s^2=\frac{27{,}5}{n-1}=\frac{27{,}5}{5}=5{,}5 \quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{5{,}5}\approx2{,}345.

Passo 3

O estatístico de teste é
t =\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}} =\frac{27{,}5-26}{2{,}345/\sqrt{6}} =\frac{1{,}5}{2{,}345/2{,}449} \approx\frac{1{,}5}{0{,}958} \approx1{,}566.

Passo 4

Para \alpha=0,05 bilateral e df=n-1=5, os valores críticos são
\pm t_{0{,}025,5} \approx\pm2{,}571.
Rejeitamos H_{0} se |t|>2{,}571, caso contrário não rejeitamos.

Passo 5

Como \lvert1{,}566\rvert<2{,}571, não rejeitamos H_{0}.

Resposta

Ao nível de 5 % de significância, não rejeitamos H_{0}. Portanto, podemos aceitar a afirmação do fabricante de que a média de nicotina é 26 mg por cigarro.

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