Numa tentativa de melhorar o esquema de atendimento, um médico procurou estimar o tempo médio que gastava com cada paciente. Uma amostra aleatória de 46 pacientes, avaliados em um período de 3 semanas, acusou uma média de 30 minutos, com desvio padrão de 8 minutos. Construa um \operatorname{IC}(95 \%) para o verdadeiro tempo médio de consulta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho n=46 de tempos de consulta, com média amostral \bar x = 30 minutos e desvio-padrão amostral s = 8 minutos. Pede-se um intervalo de confiança de 95\% para o verdadeiro tempo médio \mu. O conteúdo é intervalo de confiança para média quando a variância populacional é desconhecida, usando a distribuição t de Student.

Passo 2

Como a variância populacional não é conhecida, usamos o intervalo de confiança baseado em t. A fórmula geral é
\bar x \pm t_{\,1-\frac{\alpha}{2},\,df}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0,05 para 95\% de confiança e df = n-1.

Passo 3

Calculamos o grau de liberdade:
df = n - 1 = 46 - 1 = 45.
O nível de significância é \alpha = 0{,}05, logo \alpha/2 = 0{,}025. Procurando a tabela de t ou usando software, obtemos
t_{0{,}975,\,45} \approx 2{,}014.

Passo 4

Agora calculamos o erro padrão da média (standard error):
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{46}} \approx \frac{8}{6{,}782} \approx 1{,}180.

Passo 5

A margem de erro é
E = t_{0{,}975,\,45}\times \text{SE} \approx 2{,}014 \times 1{,}180 \approx 2{,}376.

Passo 6

Finalmente, o intervalo de confiança de 95\% para \mu é
\bigl(\bar x - E,\;\bar x + E\bigr) = \bigl(30 - 2{,}376,\;30 + 2{,}376\bigr) \approx (27{,}624,\;32{,}376).

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de consulta é aproximadamente
(27{,}62\text{ minutos},\;32{,}38\text{ minutos}).

Exercícios relacionados