Da experiência passada sabe-se que o desvio padrão da altura de crianças de quinta série do primeiro grau e 5 cm. Tomando-se uma amostra de 36 dessas crianças, observou-se média de 150 cm .
a) Qual o intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional? Interprete o resultado.
b) Que tamanho deve ter uma amostra para que o erro seja de no máximo 3 cm (com o mesmo nível de confiança)?
c) Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo 150 \pm 0,98 tenha 95 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=36 crianças com média \bar x=150,cm e desvio padrão populacional conhecido \sigma=5,cm.
Vamos usar a distribuição normal padrão para construir:
– o intervalo de confiança (IC) de nível 95\% para a média \mu, cuja fórmula é
\bar x \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
– o tamanho de amostra necessário para que a margem de erro E seja limitada, usando
n \;=\;\Bigl(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2}.

Passo 2

Para o IC de 95\% tomamos \alpha=0,05, de modo que z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96.
O erro padrão da média é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;=\;\frac{5}{\sqrt{36}} \;=\;\frac{5}{6}\approx0,8333\text{ cm}.
A margem de erro fica
E \;=\;1,96\;\times\;\frac{5}{6}\approx1,633\text{ cm},
logo o IC é
150\pm1,633 \;\Longrightarrow\; (148,367;\;151,633)\text{ cm}.

Passo 3

A interpretação é: se repetíssemos esse procedimento de amostragem muitas vezes, em cerca de 95\% dos casos o verdadeiro valor de \mu ficaria contido no intervalo (148,367;\,151,633) cm.

Passo 4

Para que o erro de estimativa seja no máximo E=3 cm com 95\% de confiança, usamos
n \;=\;\Bigl(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2} \;=\; \Bigl(\frac{1,96\cdot5}{3}\Bigr)^{2} \approx10,67.
Como n deve ser inteiro, escolhemos n=11.

Passo 5

Para que o IC seja 150\pm0,98 cm no nível 95\%, basta tomar E=0,98 e calcular
n \;=\;\Bigl(\frac{1,96\cdot5}{0,98}\Bigr)^{2} \;=\; \Bigl(\frac{9,8}{0,98}\Bigr)^{2} \;=\; 10^{2} \;=\; 100.

Resposta

a) (148,367;\,151,633) cm, com 95\% de confiança.
b) n=11.
c) n=100.

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