Uma companhia deve decidir entre dois projetos de investimento. O projeto A dará um lucro de \mathrm{R} \ 20.000,00 se for bem-sucedido, ou um prejuízo deí\mathrm{R} $2.000,00 , caso contrário. O projeto B dará um lucro de Ráá$ 25.000,00 se tiver sucesso, ou um prejuízo deí\mathrm{R} $5000,00$ se não for bem-sucedido. Admite-se que a probabilidade de sucesso é a mesma para ambos os projetos. Determine esta probabilidade, sabendo-se que o valor esperado para os dois projetos é o mesmo.
a) 0,125
b) 0,75
c) 0,375
d) 0,25
e) 0,875

Passo 1

O enunciado pede para determinar a probabilidade de sucesso comum aos dois projetos, sabendo que o valor esperado (expectância) de lucro é o mesmo para os dois. Informações dadas:
  • Projeto A: lucro de \mathrm{R}\$\,20.000,00 em caso de sucesso; prejuízo de \mathrm{R}\$\,2.000,00 em caso de insucesso.
  • Projeto B: lucro de \mathrm{R}\$\,25.000,00 em caso de sucesso; prejuízo de \mathrm{R}\$\,5.000,00 em caso de insucesso.
  • A probabilidade de sucesso é a mesma para ambos os projetos; vamos chamar essa probabilidade de p.
  • Condição: o valor esperado (esperança) dos dois projetos é igual.
  • Opções de resposta disponíveis:
    a) 0,125
    b) 0,75
    c) 0,375
    d) 0,25
    e) 0,875

Passo 2

O que é valor esperado aqui e como calcular para cada projeto:
Para um jogo com duas possibilidades (sucesso com probabilidade p e insucesso com probabilidade 1-p), o valor esperado E é a média ponderada dos resultados, ou seja,
E = p\cdot(\text{resultado em sucesso}) + (1-p)\cdot(\text{resultado em insucesso}).
Explicando as variáveis:
  • p é a probabilidade de sucesso (o que queremos achar).
  • 1-p é a probabilidade de insucesso.
  • Os “resultados” são os valores monetários (podem ser positivos para lucro ou negativos para prejuízo).
Vamos aplicar essa fórmula separadamente para o projeto A e para o projeto B.

Passo 3

Calcular o valor esperado do projeto A, denotado por E_A. Usando a fórmula:
  • resultado em sucesso = \mathrm{R}\$\,20.000 (vou escrever só o número em reais),
  • resultado em insucesso = -\mathrm{R}\$\,2.000.
    Portanto,
E_A = p\cdot 20000 + (1-p)\cdot (-2000).
Agora simplifico passo a passo:
E_A = 20000p -2000(1-p)
E_A = 20000p -2000 +2000p
E_A = (20000p+2000p) -2000
E_A = 22000p -2000.

Passo 4

Calcular o valor esperado do projeto B, denotado por E_B. Usando a fórmula:
  • resultado em sucesso = \mathrm{R}\$\,25.000,
  • resultado em insucesso = -\mathrm{R}\$\,5.000.
    Portanto,
E_B = p\cdot 25000 + (1-p)\cdot (-5000).
Simplificando passo a passo:
E_B = 25000p -5000(1-p)
E_B = 25000p -5000 +5000p
E_B = (25000p+5000p) -5000
E_B = 30000p -5000.

Passo 5

Usar a condição do enunciado: os valores esperados são iguais, ou seja E_A = E_B. Substituo as expressões obtidas:
22000p -2000 = 30000p -5000.
Agora resolvo essa equação para p. Primeiro passo, agrupar termos contendo p num lado e constantes no outro:
-2000 +5000 = 30000p -22000p.
Calculo cada lado:
3000 = 8000p.
Isolando p:
p = \frac{3000}{8000}.
Simplifico a fração dividindo por 1000:
p = \frac{3}{8}.

Passo 6

Converter a fração para decimal para comparar com as alternativas:
\frac{3}{8} = 0{,}375.
Portanto a alternativa correspondente é a letra c). Para ter certeza, faço uma verificação rápida calculando os valores esperados com p=0{,}375:
Calcular E_A:
E_A = 22000\cdot 0{,}375 -2000 = 8250 -2000 = 6250.
Calcular E_B:
E_B = 30000\cdot 0{,}375 -5000 = 11250 -5000 = 6250.
Os dois esperados coincidem em \mathrm{R}\$\,6.250, confirmando que p=0{,}375 está correto.

Resposta

c) 0,375

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