Uma companhia deve decidir entre dois projetos de investimento. O projeto A dará um lucro de
20.000,00
\mathrm{R} $2.000,00
$ 25.000,00
\mathrm{R} $5000,00$ se não for bem-sucedido. Admite-se que a probabilidade de sucesso é a mesma para ambos os projetos. Determine esta probabilidade, sabendo-se que o valor esperado para os dois projetos é o mesmo.
a) 0,125
b) 0,75
c) 0,375
d) 0,25
e) 0,875
a) 0,125
b) 0,75
c) 0,375
d) 0,25
e) 0,875
Passo 1
O enunciado pede para determinar a probabilidade de sucesso comum aos dois projetos, sabendo que o valor esperado (expectância) de lucro é o mesmo para os dois. Informações dadas:
- Projeto A: lucro de
em caso de sucesso; prejuízo de em caso de insucesso. - Projeto B: lucro de
em caso de sucesso; prejuízo de em caso de insucesso. - A probabilidade de sucesso é a mesma para ambos os projetos; vamos chamar essa probabilidade de
. - Condição: o valor esperado (esperança) dos dois projetos é igual.
- Opções de resposta disponíveis:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
O que é valor esperado aqui e como calcular para cada projeto:
Para um jogo com duas possibilidades (sucesso com probabilidade e insucesso com probabilidade
), o valor esperado
é a média ponderada dos resultados, ou seja,
Para um jogo com duas possibilidades (sucesso com probabilidade
Explicando as variáveis:
-
é a probabilidade de sucesso (o que queremos achar). -
é a probabilidade de insucesso. - Os “resultados” são os valores monetários (podem ser positivos para lucro ou negativos para prejuízo).
Vamos aplicar essa fórmula separadamente para o projeto A e para o projeto B.
Passo 3
Calcular o valor esperado do projeto A, denotado por
. Usando a fórmula:
- resultado em sucesso =
(vou escrever só o número em reais), - resultado em insucesso =
.
Portanto,
Agora simplifico passo a passo:
Passo 4
Calcular o valor esperado do projeto B, denotado por
. Usando a fórmula:
- resultado em sucesso =
, - resultado em insucesso =
.
Portanto,
Simplificando passo a passo:
Passo 5
Usar a condição do enunciado: os valores esperados são iguais, ou seja
. Substituo as expressões obtidas:
Agora resolvo essa equação para
. Primeiro passo, agrupar termos contendo
num lado e constantes no outro:
Calculo cada lado:
Isolando
:
Simplifico a fração dividindo por
:
Passo 6
Converter a fração para decimal para comparar com as alternativas:
Portanto a alternativa correspondente é a letra c). Para ter certeza, faço uma verificação rápida calculando os valores esperados com
:
Calcular
:
Calcular
:
Os dois esperados coincidem em
, confirmando que
está correto.
Resposta
c)