Determinado setor de uma empresa, no estudo de perdas ocasionadas por atendimentos dentro do prazo de garantia de seus produtos, apresentou a variável aleatória
número de reparos em produtos dentro do prazo de garantia, cuja função de distribuição acumulada é mostrada a seguir.
0,
se
0,2,
se
0,5,
se
0,9,
se
1,
se
Determine a média do número de reparos em produtos dentro do prazo de garantia.
a) 12,5
b) 11,7
c) 10,9
d) 12,3
e) 13,4
| 0, | se
|
| 0,2, | se
|
| 0,5, | se
|
| 0,9, | se
|
| 1, | se
|
a) 12,5
b) 11,7
c) 10,9
d) 12,3
e) 13,4
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a média (valor esperado) da variável aleatória
O que precisamos calcular é a média (\mathbb{E}[X]] dessa variável aleatória.]
Passo 2
Conceito importante (explicando devagar): para uma variável aleatória discreta, a função de distribuição acumulada
tem saltos exatamente nos pontos onde
assume massa de probabilidade. O tamanho do salto em um ponto
é a probabilidade de
ser exatamente
. Formalmente:
Aqui
é o valor da CDF em
e
é o valor imediatamente antes do salto. Isso nos permite extrair as probabilidades pontuais (a chamada função massa de probabilidade) diretamente da CDF.
Passo 3
Identificamos os pontos onde há saltos observando as mudanças de valor em
: os pontos são
. Vamos calcular cada probabilidade usando a fórmula do passo anterior.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Verificação rápida: as probabilidades calculadas somam
. Isso confirma que extraímos corretamente a distribuição de probabilidade.
Passo 5
Agora a definição de média (valor esperado) para variável discreta: se
toma valores
com probabilidades
, então
Aqui cada
é um valor possível de
e
é a probabilidade associada; a média é a soma ponderada desses valores pelas suas probabilidades.
Passo 6
Aplicamos a fórmula com os valores e probabilidades que encontramos:
Calculando termo a termo (explico cada produto):
Passo 7
Somando os termos:
Primeiro
. Depois
. Finalmente
.
Portanto a média é .
Portanto a média é
Resposta
d)