Determinado setor de uma empresa, no estudo de perdas ocasionadas por atendimentos dentro do prazo de garantia de seus produtos, apresentou a variável aleatória \mathrm{X}= número de reparos em produtos dentro do prazo de garantia, cuja função de distribuição acumulada é mostrada a seguir.
\mathrm{F}(\mathrm{x})=\quad
0, se \mathrm{x}<10
0,2, se 10 \leq \mathrm{x}<12
0,5, se 12 \leq \mathrm{x}<13
0,9, se 13 \leq \mathrm{x}<15
1, se \mathrm{x} \geq 15
Determine a média do número de reparos em produtos dentro do prazo de garantia.
a) 12,5
b) 11,7
c) 10,9
d) 12,3
e) 13,4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a média (valor esperado) da variável aleatória X\), que representa o número de reparos dentro do prazo de garantia. Foi fornecida a função de distribuição acumulada \(F(x)\) com os seguintes valores (copiado do enunciado): \[F(x)= \begin{cases} 0, & \text{se } x<10,\\[4pt] 0,2, & \text{se } 10\le x<12,\\[4pt] 0,5, & \text{se } 12\le x<13,\\[4pt] 0,9, & \text{se } 13\le x<15,\\[4pt] 1, & \text{se } x\ge 15. \end{cases}
O que precisamos calcular é a média (\mathbb{E}[X]] dessa variável aleatória.]

Passo 2

Conceito importante (explicando devagar): para uma variável aleatória discreta, a função de distribuição acumulada F(x)=\mathbb{P}(X\le x) tem saltos exatamente nos pontos onde X assume massa de probabilidade. O tamanho do salto em um ponto x_0 é a probabilidade de X ser exatamente x_0. Formalmente:
\mathbb{P}(X=x_0)=F(x_0)-\lim_{t\to x_0^-}F(t).
Aqui F(x_0) é o valor da CDF em x_0 e \lim_{t\to x_0^-}F(t) é o valor imediatamente antes do salto. Isso nos permite extrair as probabilidades pontuais (a chamada função massa de probabilidade) diretamente da CDF.

Passo 3

Identificamos os pontos onde há saltos observando as mudanças de valor em F(x): os pontos são x=10,\;12,\;13,\;15. Vamos calcular cada probabilidade usando a fórmula do passo anterior.
Para x=10:
\mathbb{P}(X=10)=F(10)-\lim_{t\to10^-}F(t)=0,2-0=0,2.
Para x=12:
\mathbb{P}(X=12)=F(12)-\lim_{t\to12^-}F(t)=0,5-0,2=0,3.
Para x=13:
\mathbb{P}(X=13)=F(13)-\lim_{t\to13^-}F(t)=0,9-0,5=0,4.
Para x=15:
\mathbb{P}(X=15)=F(15)-\lim_{t\to15^-}F(t)=1-0,9=0,1.

Passo 4

Verificação rápida: as probabilidades calculadas somam 0,2+0,3+0,4+0,1=1. Isso confirma que extraímos corretamente a distribuição de probabilidade.

Passo 5

Agora a definição de média (valor esperado) para variável discreta: se X toma valores x_i com probabilidades p_i=\mathbb{P}(X=x_i), então
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,p_i.
Aqui cada x_i é um valor possível de X e p_i é a probabilidade associada; a média é a soma ponderada desses valores pelas suas probabilidades.

Passo 6

Aplicamos a fórmula com os valores e probabilidades que encontramos:
\mathbb{E}[X]=10\cdot 0,2 + 12\cdot 0,3 + 13\cdot 0,4 + 15\cdot 0,1.
Calculando termo a termo (explico cada produto):
10\cdot 0,2 = 2,0,
12\cdot 0,3 = 3,6,
13\cdot 0,4 = 5,2,
15\cdot 0,1 = 1,5.

Passo 7

Somando os termos:
\mathbb{E}[X]=2,0 + 3,6 + 5,2 + 1,5.
Primeiro 2,0+3,6=5,6. Depois 5,6+5,2=10,8. Finalmente 10,8+1,5=12,3.
Portanto a média é \mathbb{E}[X]=12,3.

Resposta

d) 12,3

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