Uma companhia fabrica cabos cujas tensões de ruptura têm a média de 300 kg e o desvio padrão de 24 kg . Acredita-se que, mediante um processo recentemente aperfeiçoado, a tensão média de ruptura pode ser aumentada. Foram ensaiados 64 cabos feitos através do novo processo obtendo-se uma média de 310 kg para a ruptura. Ao nível de significância de 1 \% é possível afirmar que houve melhoria no processo?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a tensão média de ruptura de cabos, supondo que as tensões sejam normalmente distribuídas com desvio padrão conhecido de \sigma = 24,kg. Temos uma amostra de tamanho n=64 produzida pelo novo processo, com média amostral \bar x = 310,kg. Queremos verificar, ao nível de significância \alpha = 0,01, se a média verdadeira \mu aumentou em relação a 300,kg. Para isso, utilizaremos o teste-Z de uma amostra com \sigma conhecido.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu = 300
H_1: \mu > 300
É um teste unilateral à direita com nível de significância \alpha = 0,01.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste Z pela fórmula
Z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}.
Substituindo os valores:
\sigma / \sqrt{n} = \frac{24}{\sqrt{64}} = \frac{24}{8} = 3
Z = \frac{310 - 300}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33.

Passo 4

O valor crítico para um teste unilateral à direita com \alpha = 0,01 é
z_{1-\alpha} = z_{0{,}99} \approx 2{,}33.
Como
Z \approx 3{,}33 > 2{,}33,
a estatística observada cai na região de rejeição de H_0.

Passo 5

Como a estatística de teste excede o valor crítico, rejeitamos H_0 ao nível de 1\% e concluímos que há evidência estatística de que o novo processo aumentou a tensão média de ruptura.

Resposta

Sim. Ao nível de significância de 1\%, rejeita-se H_0 e conclui-se que houve melhoria no processo.

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