A quantidade mensal de produtos entregues por uma instituição segue uma distribuição normal com média e variância desconhecidas. Analise os dados a seguir que representa uma amostra de 20 meses.
\begin{array}{llllllllllllllllllll} 17 & 18 & 18 & 19 & 19 & 19 & 19 & 19 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 21 & 21 & 21 & 21 & 22 & 22 \end{array}
Sabe-se que uma empresa de fiscalização considera que a quantidade de produtos entregues é satisfatória se a indústria entregar uma média de 20 produtos nesse intervalo de tempo. Caso o número seja menor que 20 , a indústria receberá uma multa.
(a) Construa as hipóteses de acordo com o parecer da empresa de fiscalização.
(b) Construa a regra de decisão a um nível de 5 \% de significância.
(c) Essa indústria está dentro das condições de satisfação da empresa fiscalizadora? Explique

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de tamanho n=20 de uma variável com distribuição normal de média \mu e variância desconhecidas, correspondendo à quantidade mensal entregue de produtos. A empresa de fiscalização considera satisfatória uma média de 20 produtos, caso contrário aplica multa. O conteúdo é o teste t para uma média populacional desconhecida e precisaremos calcular a média amostral, o desvio-padrão amostral, definir as hipóteses e a regra de decisão para \alpha=5\%.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}. Somando todos os valores e dividindo por 20:
\bar{x} = \frac{396}{20} = 19{,}8.

Passo 3

Cálculo da variância e do desvio-padrão amostral. A soma dos quadrados das diferenças é 33{,}2, logo
s^2 = \frac{33{,}2}{19} \approx 1{,}747,
s = \sqrt{1{,}747} \approx 1{,}322.

Passo 4

Definição das hipóteses e da estatística de teste. Como a multa ocorre se a média for menor que 20, temos
H_0: \mu = 20, \quad H_1: \mu < 20.
Como a variância é desconhecida, usamos a estatística
T = \frac{\bar{x}-20}{s/\sqrt{n}},
que segue t com 19 graus de liberdade sob H_0. Para \alpha=5\%, o valor crítico à esquerda é -t_{19,0{,}95}\approx -1{,}729. Rejeitamos H_0 se T\le -1{,}729.

Passo 5

Cálculo do valor observado de T:
T = \frac{19{,}8-20}{1{,}322/\sqrt{20}} \approx \frac{-0{,}2}{0{,}296} \approx -0{,}676.
Como -0{,}676 > -1{,}729, não rejeitamos H_0.

Passo 6

Não havendo rejeição de H_0, não há evidência de que a média seja menor que 20, portanto a indústria atende à condição de satisfação da fiscalização.

Resposta

(a) H_0: \mu = 20, H_1: \mu < 20.
(b) Regra de decisão: rejeitar H_0 se
T = \frac{\bar{x}-20}{s/\sqrt{20}} \le -1{,}729.
(c) Calculamos T\approx -0{,}676, o que não cai na região de rejeição, logo a indústria está dentro das condições de satisfação da empresa fiscalizadora.

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