A quantidade mensal de produtos entregues por uma instituição segue uma distribuição normal com média e variância desconhecidas. Analise os dados a seguir que representa uma amostra de 20 meses.
\begin{array}{llllllllllllllllllll} 17 & 18 & 18 & 19 & 19 & 19 & 19 & 19 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 21 & 21 & 21 & 21 & 22 & 22 \end{array}
Sabe-se que uma empresa de fiscalização considera que a quantidade de produtos entregues é satisfatória se a indústria entregar uma média de 20 produtos nesse intervalo de tempo. Caso o número seja menor que 20 , a indústria receberá uma multa.
(a) Construa as hipóteses de acordo com o parecer da empresa de fiscalização.
(b) Construa a regra de decisão a um nível de 5 \% de significância.
(c) Essa indústria está dentro das condições de satisfação da empresa fiscalizadora? Explique

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=20 proveniente de uma população normal com média \mu e variância \sigma^2 desconhecidas. A amostra é
17,18,18,19,19,19,19,19,20,20,20,20,20,20,21,21,21,21,22,22.
Queremos testar se a média de produtos entregues é inferior a 20, pois a fiscalização pune quando \mu<20. O conteúdo aqui é o teste t de Student para uma amostra.

Passo 2

Formulamos as hipóteses conforme o critério da fiscalização:
H_0:\mu = 20
H_1:\mu < 20
Sob H_0 supomos que a média é exatamente 20; sob H_1 ela é menor que 20.

Passo 3

O estatístico de teste é
t = \frac{\overline{x}-20}{s/\sqrt{n}},
onde \overline{x} é a média amostral, s o desvio-padrão amostral e n=20. Adotamos nível de significância \alpha=0{,}05 em um teste unilateral à esquerda.

Passo 4

Calculamos a média e o desvio-padrão da amostra.
A soma dos valores é 396, logo
\overline{x} = \frac{396}{20} = 19{,}8.
Para o desvio-padrão, primeiro a soma dos quadrados é 7874, então
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\overline{x}^{2}}{n-1} = \frac{7874 - 20 \times 19{,}8^{2}}{19} =1{,}7474\quad\implies\quad s\approx1{,}322.

Passo 5

Substituindo no estatístico,
t = \frac{19{,}8 - 20}{1{,}322/\sqrt{20}} = \frac{-0{,}2}{1{,}322/4{,}472} \approx -0{,}677.

Passo 6

Com 19 graus de liberdade e \alpha=0{,}05 unilateral à esquerda, o valor crítico é
t_{0{,}05,\,19} \approx -1{,}729.
Rejeitamos H_0 se t \le -1{,}729.

Passo 7

Como -0{,}677 > -1{,}729, não rejeitamos H_0. Não há evidência suficiente para concluir que \mu<20.

Resposta

(a)
H_0:\mu=20,\quad H_1:\mu<20.
(b)
Regra de decisão ao nível de 5\%: rejeitar H_0 se
t \le -t_{0{,}05,19} = -1{,}729.
(c)
O valor calculado t\approx -0{,}677 não atinge a região crítica. Logo, não rejeitamos H_0 e concluímos que a indústria está dentro das condições de satisfação da fiscalização.

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